Calculadora de equações polinomiais

Este solucionador de equações polinomiais irá ajudá-lo a resolver equações polinomiais que você fornece, como por exemplo '3x^2 - 2/3 x + 1/4 = 0' , que é um simples Equação quadrática , ou equações polinomiais de ordem superior, como 'x ^ 5 - x ^ 2 + 1 = 0', etc.

Se você não adicionar um sinal de igualdade "=" à expressão fornecida, a calculadora adicionará automaticamente um "= 0" para convertê-la em uma equação.

Depois que uma equação polinomial válida for fornecida, você poderá clicar no botão "Calcular" e será apresentado o cálculo passo a passo das soluções das soluções da equação.

Uma equação polinomial é um tipo de equação de álgebra e um dos tipos mais simples, exceto Equações Lineares . O fato de as equações polinomiais serem simples não significa que sejam FÁCEIS de resolver e, na verdade, às vezes demoram muito para serem resolvidas, se é que podem ser resolvidas.

Como posso resolver polinômio?

Embora os polinômios sejam expressões simples, resolver equações polinomiais pode ser muito complicado, especialmente para grau polinomial maior que 2.

Para equações quadráticas, as soluções são simplesmente encontradas usando uma fórmula quadrática. Claro, você pode achar que é difícil memorizar as fórmulas, mas pelo menos existe uma fórmula.

Para cúbica (grau 3) e quártica (grau 4), existem algumas equações muito inteligentes para serem usadas, mas elas não são de forma alguma fáceis de usar ou lembrar. Para poliequações de grau 5 e superiores não existe fórmula.

Isso não significa que não possamos encontrar o raízes polinomiais para essas equações, mas não temos uma fórmula para isso, e não existe uma fórmula (se você está curioso sobre isso, tais conclusões foram um dos principais avanços da matemática moderna no final do século XVIII.

Etapas para encontrar soluções para uma equação polinomial

Existem vários passos sistemáticos que você pode seguir para ter melhores chances de encontrar as soluções para uma equação polinomial, mas esteja ciente de que você pode acabar não encontrando nenhuma solução, especialmente para equações de grau superior.

• Passo 1: Esteja ciente de que, em teoria, existem soluções \(n\) para uma equação polinomial de grau \(n\). Mas essas soluções podem ser reais ou complexas e, além do grau 4, não existe uma fórmula para elas
• Passo 2: Tente fatorar os termos polinomiais. Coloque todos os termos em um lado da equação e procure uma maneira de fatorar a expressão polinomial . Ao fatorar você pode tentar encontrar soluções para cada fator, reduzindo o problema a graus mais baixos
• Estágio 3: Tente encontrar soluções racionais/inteiras primeiro usando o Teorema Racional Zero . Isso é conseguido encontrando fatores inteiros do termo constante, dividindo-os por fatores do termo líder (aquele que tem maior potência)
• Passo 4: Usando esses candidatos racionais, você os testa um por um (pode haver muitos deles), na esperança de encontrar soluções. Se por acaso você encontrou soluções \(n\) para uma equação de grau \(n\), então você termina
• Etapa 5: Se você encontrou uma ou mais raízes racionais, mas não todas, você constrói uma multiplicação dos termos \(x - \alpha\), onde \(\alpha\) é uma raiz racional encontrada. Multiplique esses termos, forme um polinômio e depois DIVIDA o polinômio da equação original por este produto que consiste nos termos \(x - \alpha\). Para encontrar as raízes restantes, você precisa encontrar as raízes do resultado da divisão (que terá um grau menor que o polinômio original.

Parece difícil e, honestamente, é. É um processo complicado, que provavelmente requer muitos cálculos. É por isso que você deve usar um calculadora de equação isso lhe mostrará os passos, pois você economizará muito tempo e minimizará suas chances de cometer um erro no cálculo .

Como você encontra a equação de um polinômio?

Resolvendo equações polinomiais definitivamente não é uma tarefa trivial. Você não conseguirá fazer isso de maneira geral, pois não existe uma equação geral para resolver TODOS os polinômios. Sabemos, em virtude do Teorema Fundamental da Álgebra, que existem soluções \(n\) para uma equação polinomial de grau \(n\).

Como o nome sugere, esse resultado é uma grande conquista porque nos diz exatamente QUANTAS soluções estamos procurando. Por exemplo, se tivermos a equação \(x^4 = x^6\), o que temos é uma equação de grau 6 (porque é a maior potência polinomial que pode ser encontrada ali). Portanto, pelo Teorema Fundamental da Álgebra, SABEMOS que existem 6 soluções.

Agora, pode ser complicado porque nem todas as soluções serão reais, algumas poderão ser complexas e outras poderão ser repetidas. Se disséssemos um polinômio de grau \(n\), então sabemos que existem soluções \(n\), e outra coisa notável afirmada por este teorema é que a parte polinomial pode ser escrita como

\[\displaystyle p(x) = (x - \alpha_1) (x - \alpha_2) (x - \alpha_3) \cdot\cdot\cdot (x - \alpha_n) \]

onde \(\alpha_1\), ..., \(\alpha_n\) são as soluções. Mas pode acontecer que nem todas as soluções sejam diferentes. Na verdade, poderíamos ter algo como

\[ p = (x - \alpha)^n\]

indicando que todas as n soluções são iguais.

Quais são as regras para polinômios?

• Passo 1: Polinômios são combinações lineares de expressões da forma \(x^k\)
• Passo 2: Os polinômios que nos interessam são aqueles com termos \(x^k\), apenas com números inteiros \(k\)
• Estágio 3: Polinômios são um tipo simples de funções que podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas.

Observe aquilo Operações polinomiais não estão fechados. Observe que ao adicionar, subtrair e multiplicar polinômios, o resultado será sempre um polinômio. Mas ao dividir polinômios, o resultado não será necessariamente um polinômio, embora a divisão e o resto sejam polinômios. Verifica a algoritmo de divisão longa polinomial .

O que é uma equação polinomial e como podemos resolvê-la?

Uma equação polinomial, simplificando, é uma equação matemática na qual os termos nos lados esquerdo e direito da equação são polinômios. Normalmente, estas equações são dadas com uma constante no lado direito, mas nem sempre é esse o caso.

Por exemplo, \(x^2 + 3x = 2\) é uma equação polinomial, porque os termos em ambos os lados da equação são polinômios (a constante '2' é um polinômio de ordem 0).

Mas, \(x^2 + \sin(x) = 2x\) NÃO é uma equação polinomial, porque os termos no lado esquerdo não são um polinômio (devido à presença do termo \(\sin(x)\).

Exemplo: calculando soluções para equações polinomiais

Calcule a solução para: \(x^2 = x^4\)

Solução:

Precisamos resolver a seguinte equação polinomial dada:

\[x^2=x^4\]

A equação que precisamos resolver tem apenas uma variável, que é \(x\), então o objetivo é resolvê-la.

Observe que o grau do polinômio dado é \(\displaystyle deg(p) = 4\), seu coeficiente líder é \(\displaystyle a_{4} = -1\) e seu coeficiente constante é \(\displaystyle a_0 = 0\).

Como o primeiro termo com coeficiente diferente de zero em \(p(x)\) é \(x^2\), podemos fatorar esse termo para obter:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = x^2 \left(\displaystyle -x^2+1 \right) \]

mas o termo entre parênteses tem grau 2 e precisamos ver se ele pode ser fatorado posteriormente.

Precisamos resolver a seguinte equação quadrática \(\displaystyle -x^2+1=0\).

Para uma equação quadrática da forma \(a x^2 + bx + c = 0\), as raízes são calculadas usando a seguinte fórmula:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Neste caso, temos que a equação que precisamos resolver é \(\displaystyle -x^2+1 = 0\), o que implica que os coeficientes correspondentes são:

\[a = -1\] \[b = 0\] \[c = 1\]

Primeiro, calcularemos o discriminante para avaliar a natureza das raízes. A discriminação é calculada como:

\[\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 0\right)^2 - 4 \cdot \left(-1\right)\cdot \left(1\right) = 4\]

Como neste caso obtemos o discriminante \(\Delta = \displaystyle 4 > 0\), que é positivo, sabemos que a equação tem duas raízes reais diferentes.

Agora, inserindo esses valores na fórmula das raízes, obtemos:

\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{\left(0\right)^2-4\left(-1\right)\left(1\right)}}{2\cdot -1} = \displaystyle \frac{0 \pm \sqrt{4}}{-2}\]

então, descobrimos que:

\[ {x}_1 = \frac{0}{-2}-\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-\left(-1\right)=1 \] \[{x}_2 = \frac{0}{-2}+\frac{1}{-2}\sqrt{4}=\frac{0}{-2}-1=-1\]

Neste caso, a equação quadrática \( \displaystyle -x^2+1 = 0 \), possui duas raízes reais, então:

\[\displaystyle -x^2+1 = - \left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

então o polinômio original é fatorado como \(\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2 \left(x-1\right)\left(x+1\right) \), o que completa a fatoração.

Conclusão : Portanto, a fatoração final que obtemos é:

\[\displaystyle p(x) = -x^4+x^2 = - x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\]

As raízes encontradas usando o processo de fatoração são \(0\), \(1\) e \(-1\) .

Outras calculadoras de equações úteis

Solucionadores de equações são realmente importantes em matemática, pois as equações geralmente são a forma como expressamos a associação entre quantidades relacionadas. Ser capaz de resolver equações revelará alguns pontos especiais que satisfazem alguma igualdade específica.

Calculadoras gerais são difíceis de conseguir, pois diferentes estruturas de equações exigirão diferentes estratégias de resolução. A calculadora de equações trigonométricas normalmente explorará a relação entre diferentes funções trigonométricas para encontrar soluções, da mesma forma que equações exponenciais e equações logarítmicas terão suas próprias abordagens, baseadas em propriedades-chave mantidas por expoentes e logaritmos, respectivamente. .

A maioria dos problemas de álgebra pode ser representada, então, ao resolver equações, encontraremos a chave para esses problemas de álgebra, aqueles pontos especiais que satisfazem propriedades específicas de interesse.

Resolver equações não é fácil em geral. Você pode seguir certas estratégias úteis, como reorganizar equações, fatorar ou simplificando expressões . Mas, em última análise, cada tipo de equação lhe dará um tipo de estrutura que revelará o caminho para sua solução

Por exemplo, para equações radicais você certamente precisará resolver o termo que tem raiz e usar uma potência para eliminar a raiz, transformando-a em uma equação polinomial. Mas essa rota, que funciona perfeitamente para uma equação radical, pode não funcionar para uma equação trigonométrica, por exemplo.