Plus d'informations sur cette loi des cosinus

Cette calculatrice permet de résoudre un triangle en utilisant la loi des cosinus. Pour donner à la calculatrice ce dont elle a besoin, vous devez fournir deux côtés et l'angle entre eux.

Une fois les informations valides fournies pour commencer, cliquez simplement sur « Calculer » et les étapes de calcul seront affichées.

Quelle est la loi des cosinus ?

La loi des cosinus est une identité trigonométrique fondamentale utilisée pour trouver les longueurs des côtés ou des angles de n'importe quel triangle, pas seulement des triangles rectangles. Elle étend le théorème de Pythagore à tous les types de triangles en incorporant le cosinus de l'un de ses angles.

Vous pouvez considérer la loi des cosinus comme un théorème de Pythagore généralisé, qui prend exactement la même forme lorsque l'angle correspondant est de 90 degrés, car le cosinus de 90 degrés est nul.

Comprendre la formule de la loi des cosinus

La loi des cosinus a trois formules principales, ou plutôt trois expressions différentes de la formule, chacune correspondant à un côté du triangle :

• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$
• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$

Ici, $a$, $b$ et $c$ sont les côtés du triangle, et $A$, $B$ et $C$ sont respectivement les angles opposés à ces côtés.

Notez que vous avez peut-être déjà vu une version de la loi des cosinus comme $c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(C)$, mais c'est une sorte de dispositif inutile pour les angles obtus. Il n'est vraiment pas nécessaire de décomposer la règle avec différents cas, lorsque le signe de $cos(C)$ rend parfaitement compte de tous les cas possibles.

Comment utiliser la loi des cosinus

Étapes pour calculer un côté

Voici les étapes pour trouver la longueur d'un côté en utilisant la loi des cosinus :

• Identifiez les côtés et les angles connus de votre triangle. Vous avez besoin de deux côtés et de l'angle formé par ces deux côtés.
• Choisissez la formule qui inclut le côté que vous souhaitez trouver. La formule choisie aura le côté manquant sur le côté gauche
• Remplacez les valeurs connues dans la formule.
• Résolvez le problème du côté inconnu.

Quand utiliser la loi des cosinus ?

La loi des cosinus est particulièrement utile lorsque :

• Vous connaissez deux côtés et l'angle inclus ( SAS ).
• Vous connaissez les trois côtés et devez trouver un angle ( SSS ).
• Le triangle n’est pas un triangle rectangle et vous devez trouver un côté ou un angle.

Exemples de la loi des cosinus en action

Voici quelques exemples pratiques que vous pourriez résoudre :

• Exemple 1 : Si $a = 5$, $b = 6$ et $C = 60^\circ$, trouvez $c$.
• Exemple 2 : Étant donné $a = 7$, $b = 8$ et $c = 9$, trouvez l'angle $A$.

Preuve de la loi des cosinus

La loi des cosinus peut être déduite de la Théorème pythagoricien en considérant un triangle dont l'altitude est tirée de l'un de ses sommets. C'est plus complexe que cela, mais voici un schéma :

• Construire un triangle rectangle à l’intérieur du triangle d’origine.
• Utilisez le théorème de Pythagore sur ce triangle plus petit.
• Reliez le cosinus de l’angle aux côtés du triangle.

Comparaison de la loi des cosinus avec le théorème de pythagore

Alors que le théorème de Pythagore s'applique uniquement aux triangles rectangles, la loi des cosinus :

• Fonctionne pour tous les triangles.
• Incorpore le cosinus d'un angle , le rendant plus polyvalent.
• Peut être utilisé pour trouver des angles ainsi que des côtés.

Utilisation du calculateur de la loi des cosinus

Les calculateurs en ligne peuvent simplifier le processus, en particulier notre calculateur qui montre les étapes du processus :

• Entrez les valeurs connues dans la calculatrice.
• Sélectionnez le côté ou l’angle que vous souhaitez trouver.
• La calculatrice fournira le résultat basé sur la formule de la loi des cosinus.

Quelles sont les règles de la loi des cosinus ?

Les règles de la loi des cosinus incluent :

• Elle s'applique à tous les triangles, pas seulement aux triangles rectangles. Le cas des triangles rectangles est le cas le plus simple pour la loi des cosinus.
• Le cosinus d'un angle doit être compris entre -1 et 1.
• Lorsque l'angle est de 90 degrés, la formule se simplifie en théorème de Pythagore, car la partie cosinus devient 0.

Quelle équation représente la loi des cosinus ?

Il n'existe pas UNE équation qui représente la loi des cosinus. L'équation représentant la loi des cosinus pour le côté $c$ est :

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$$

D'autre part, l'équation représentant la loi des cosinus pour le côté $b$ est :

$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$$

et l'équation représentant la loi des cosinus pour le côté $a$ est :

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$$

Qu'est-ce que la règle du cosinus en termes simples ?

En termes simples, la règle du cosinus stipule que le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces côtés et du cosinus de l'angle inclus.

Comment la loi des cosinus aide-t-elle à résoudre les triangles ?

La loi des cosinus vous permet de :

• Trouvez n'importe quel côté lorsque vous connaissez deux côtés et l'angle inclus, comme dans le cas de cette calculatrice.
• Déterminez un angle lorsque vous connaissez les trois côtés. En règle générale, vous résolvez la question pour un seul côté en utilisant la loi du cosinus, mais vous pouvez certainement résoudre la question pour l'angle.
• Résolvez les angles ou les côtés dans les triangles non rectangles où le théorème de Pythagore ne s'applique pas. En fait, les triangles non rectangles sont la principale utilisation que vous lui trouverez.

La loi des cosinus peut-elle être utilisée pour n’importe quel triangle ?

Oui, la loi des cosinus peut être utilisée pour n'importe quel triangle, qu'il soit aigu, droit ou obtus, ce qui en fait un outil polyvalent en trigonométrie. Vous pouvez avoir des symétries ou un triangle scalène, la loi des cosinus s'applique toujours.

Parfois, la loi des cosinus ne suffit pas à calculer complètement un triangle, et il est peut-être nécessaire d'utiliser la loi des sinus (pensez à la Triangle AAS cas).

Quelles sont les trois formules de la loi des cosinus ?

Les trois formules de la loi des cosinus sont :

• $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$
• $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$

Notez que ces formules sont basées sur le choix de l'un des côtés comme côté opposé. C'est légèrement différent lorsque vous travaillez avec un triangle rectangle.

Explorez davantage avec les calculatrices associées

Comprendre le loi des cosinus peut être grandement améliorée en explorant des concepts trigonométriques connexes. Par exemple, si vous traitez des angles dans vos calculs, vous pourriez trouver que Formule De L'Angle Double utile pour simplifier des expressions ou résoudre des équations impliquant des angles.

De plus, la visualisation du comportement du cosinus sous différents angles peut être réalisée avec notre Graphique Cos calculatrice, fournissant une représentation graphique qui peut aider à comprendre la périodicité et l'amplitude de la fonction.

Lorsque vous travaillez avec des triangles, la connaissance des côtés et des angles peut souvent conduire à des calculs plus complexes Calculatrice de triangle avec deux angles et un côté opposé peut vous aider à résoudre les côtés et les angles restants, ce qui est particulièrement utile lors de l'application de la loi des cosinus dans des problèmes du monde réel. De plus, pour une gamme plus large de calculs trigonométriques, notre Calculatrice De Trigonométrie offre une suite complète d'outils pour gérer diverses identités et équations trigonométriques.