Calculatrice de formules à double angle

Cette calculatrice de formule d'angle double vous permettra de fournir un certain angle en radians, et d'obtenir toutes les informations nécessaires valeurs trigonométriques de l'angle double correspondant. En d'autres termes, il s'agit d'une calculatrice permettant de calculer des choses telles que sin(2x) en fonction des valeurs trigonométriques de x.

Notez que l'angle doit être exprimé en radians. Si vous l'avez en degrés, vous pouvez utiliser ceci calculatrice de degrés en radians pour effectuer la conversion.

Un élément intéressant des fonctions trigonométriques est qu'il existe un moyen de calculer la valeur de la fonction trigonométrique du double d'un angle donné, à l'aide de formules relativement simples, en utilisant ce que l'on appelle les formules de l'angle double.

Quelle est la formule de l'angle double ?

Supposons que nous ayons un angle \(\theta\) qui est mesurée en radians et \(2 \theta\) est l'angle double. Les formules suivantes d'identités d'angle double sont alors utilisées pour l'angle double

\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta) \cos(\theta)\] \[\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\] \[\tan(2\theta) = \displaystyle \frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}\]

Ce qui est intéressant avec ces formules, c'est que si vous connaissez les valeurs trigonométriques d'un angle \(\theta\), vous pouvez utiliser les formules ci-dessus pour calculer les formules trigonométriques de \(2\theta\). Supposons donc que vous connaissiez les valeurs trigonométriques de 30 ^o vous pouvez alors utiliser les formules ci-dessus pour calculer les valeurs trigonométriques de 60 ^o

Voici les formules que ce Calculateur d'angle double vous sera fourni une fois qu'un angle valide en radians aura été fourni.

Exemple d'utilisation d'angles doubles

Formule à double angle Exemple : Nous savons que \(\sin(45^o) = \sin(45^o) = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \). Calculons \(\sin(90^o)\). Remarquez que \(90^o\) est donc l'angle double de \(45^o\), donc, en utilisant la formule ci-dessus

\[\sin(90^o) = \sin(2\cdot 45^o) = 2\sin(45^o) \cos(45^o) =\displaystyle 2 \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1\]

À quoi sert l'angle double ?

Nous avons dit que l'angle double pouvait être très utile pour les calculs, mais en fait, il s'agit plutôt d'une utilisation théorique. En effet, les tables trigonométriques ne sont pas calculées en utilisant le double angle à partir de quelques angles notables, mais en utilisant Approximation de Taylor au lieu de cela.

Formules d'angle double sont extrêmement utiles dans les identités utilisées pour permettre certains calculs d'intégrales trigonométriques.

Étroitement liés et équivalents sur le plan conceptuel, vous pouvez utiliser ces demi-angle formules pour calculer la valeur trigonométrique du demi-angle \(\frac{\theta}{2}\) étant donné les valeurs trigonométriques de \(\theta\).

Exemple de calcul d'un angle double (y compris un angle double tangent)

Question : Utilisez une formule d'angle double pour le sinus, le cosinus et la tangente, pour l'angle d'origine : \(\theta = \frac{\pi}{8}\).

Solution : C'est ce que vous pouvez facilement faire avec cette calculatrice d'identités à double angle. On nous donne l'angle \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\) en radians. Les formules de double angle suivantes sont utilisées pour trouver les valeurs trigonométriques du double angle correspondant \(2\theta\).

Pour Sine :

\[ \begin{array}{ccl} \sin(2\theta) & = & \displaystyle \sin(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \sin(\frac{\pi{}}{8}) \cos(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \times 0.383 \times 0.924 \\\\ \\\\ & = & 1 \end{array}\]

Passons maintenant au Cosinus :

\[ \begin{array}{ccl} \cos(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \cos^2(\frac{\pi{}}{8}) - \sin^2(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.924^2 - 0.383^2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.8538 - 0.1467 \\\\ \\\\ & = & 0.707 \end{array}\]

Passons maintenant à la tangente :

\[ \begin{array}{ccl} \tan(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \times \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \tan(\frac{\pi{}}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi{}}{8})} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \times 0.414}{1-0.1714} \\\\ \\\\ & = & 0.999 \end{array}\]

Par conséquent, sur la base de l'angle fourni \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\) radians, les expressions d'angle double correspondantes sont \(\sin(2\theta) = 1\), \(\cos(2\theta) = 0.707\) et \(\tan(2\theta) = 0.999\).