Expansion d'expressions

Cette calculatrice d'expansion vous permet d'étendre une expression que vous fournissez, en montrant toutes les étapes pertinentes. Il peut s'agir d'une expression relativement simple comme 2(x-1)^2, ou d'une expression plus complexe faisant intervenir des éléments suivants fonctions composées .

Une fois qu'une expression valide est fournie, il ne reste plus qu'à cliquer sur "Calculer" pour obtenir les résultats, avec toutes les étapes pertinentes affichées, montrant comment arriver à la réponse finale.

L'algèbre des fractions implique la conversion des fractions, comme l'utilisation du dénominateur commun, et l'utilisation des règles arithmétiques de base. Dans l'ensemble, le processus de calcul peut être laborieux, bien qu'il puisse être effectué de manière systématique, sans grand problème.

Que signifie développer une expression ?

Dans une large mesure, l'expansion d'une expression est en quelque sorte l'inverse de l'expansion d'une expression simplifier une expression mais ce n'est pas tout, car les termes s'enchevêtrent.

Par exemple, si vous avez l'expression :

\[\displaystyle 2(x+1)-3 \]

comment l'élargir ? D'après le sens du mot, on pourrait penser que l'on essaie de rendre l'expression aussi grande que possible, aussi "étendue" que possible. Dans cette optique, on pourrait dire que nous avons l'expansion suivante :

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 \]

Je ne sais pas ce qu'il en est pour vous, mais cela me semble un peu incomplet : voudriez-vous laisser la partie "2 - 3" sans traitement ? Je ne le ferais pas, je ferais plutôt

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1\]

Comme vous pouvez le constater, ce processus d'expansion comporte une part de simplification. Il n'est donc pas tout à fait vrai que le développement est le contraire de la simplification. Le développement d'une expression consiste à Règles PEMDAS pour distribuer les termes, et il s'agit ensuite d'une simplification des expressions partie.

Comment développer une expression ou une équation ?

Le processus d'expansion, comme nous l'avons mentionné précédemment, ne consiste pas seulement à rendre le terme "aussi étendu que possible", mais il s'agit d'un mélange de distribution et de simplification des termes. Mais il y a aussi un niveau de granularité que vous devez décider, parce que les distributions ne sont pas les seules expansions possibles.

Par exemple, on peut penser à des opérations avec expressions radicales . Supposons que vous ayez affaire à une expression simple telle que

\[\displaystyle \sqrt{xy}\]

Comment l'élargiriez-vous ? Feriez-vous cette extension ?

\[\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\]

Bien qu'il s'agisse d'une opération valide, certaines personnes remettraient en question son sens en disant "pourquoi développer une expression qui est déjà parfaitement simplifiée". Mais il y a des utilisations valables, par exemple, vous pouvez avoir un \(\sqrt y\) dans le dénominateur, dans ce cas vous aurez

\[\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\]

ce qui conduit également à la question suivante : quelle est la "bonne" expansion ? \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) ou \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\) ?

J'espère que ces points vous ont aidé à comprendre qu'il n'y a pas qu'une seule façon d'étendre une expression. Vous devez suivre les étapes suivantes lorsque vous devez développer un terme :

• Étape 1 : Identifiez la granularité de votre processus de développement : développerez-vous en distribuant uniquement, ou développerez-vous des termes tels que les radicaux en utilisant les règles des radicaux, les expressions trigonométriques (en utilisant les identités trigonométriques), les expressions exponentielles (en utilisant la règle de la puissance), expressions logarithmiques , etc.
• Étape 2 : Une fois que vous avez décidé de la granularité de l'expansion de l'expression à laquelle vous vous engagez, vous devez suivre les règles PEMDAS correspondantes qui régiront cette expansion, en tenant compte des règles de priorité établies par PEMDAS
• Étape 3 : Une fois que votre expression est développée conformément aux étapes précédentes, vous devez regrouper les termes similaires si nécessaire, en procédant à une "simplification de l'expansion".
• Étape 4 : Prêt. Vous avez maintenant trouvé l'expression développée ?

La plupart des systèmes de calcul formel (CAS) tels que Mathematica, Sage, Octave, etc. utilisent des critères différents lors de l'expansion et de la simplification, ce qui conduit souvent à des résultats finaux différents.

Comment développer les exponentielles ?

Comme nous l'avons mentionné précédemment, tout dépend de la granularité de l'expansion : c'est-à-dire, quel type d'expression voulez-vous étendre, seulement la distribution des multiplications et des additions, ou allez-vous inclure d'autres types.

Dans le cas des exponentielles, par exemple, il découle directement de la règle de puissance qui stipule que

\[\displaystyle a^{x+y}= \displaystyle a^x a^y \]

ce qui vous permet d'obtenir directement l'expansion que vous recherchez.

Comment développer un polynôme ?

Les polynômes sont généralement développés en utilisant la propriété de distribution. Par exemple, vous pouvez développer ce produit de polynômes :

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 \]

En appliquant la propriété distributive, on trouve que

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 = 2x^2 \cdot x^3 + 2x^2 - 4 = 2x^{2+3} + 2x^2 - 4 = 2x^5 + 2x^2 - 4 \]

Comme vous pouvez le constater, l'expansion des polynômes implique une utilisation relativement simple de la règle de distributivité. Les choses peuvent certainement devenir plus complexes lorsque l'on mélange différents types d'expressions, mais cette règle de distributivité ne s'applique pas aux polynômes calculatrice d'expression étendue traitera non seulement des polynômes, mais aussi de la combinaison de différents types d'expressions, avec des règles spécifiques à développer.

Un autre type courant d'expansion pour les polynômes est basé sur l'expression théorème de l'expansion binomiale qui vous explique comment développer une puissance comme \((x+y)^n\). Comme vous pouvez le constater, l'intrigue s'épaissit et les choses peuvent devenir complexes.

Pourquoi voulez-vous développer une expression ?

Il y a de nombreuses raisons à cela, notamment pour annuler des termes, mais pas seulement, car nous pouvons souvent développer l'expression pour comprendre un peu mieux sa structure et ses propriétés.

La question de la comment simplifier une expression et comment développer une expression pourraient sembler à première vue opposés, mais nous avons vu qu'ils vont en fait de pair, et qu'ils s'entrecroisent.

Exemple d'une expression sous forme développée

Mettez l'expression suivante sous forme développée \(\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) \)

Solution : Supposons que nous ayons décidé de développer tous les types d'expressions, y compris les équations logarithmiques. Dans ce cas, l'expression en question comporte un terme fractionnaire qui ne peut être développé de manière significative, mais la partie logarithmique peut être développée sous la forme \(\ln(xy) = \ln(x)+\ln(y)\). Nous obtenons donc

\[\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) = \frac{x^2}{y} (\ln(x)+\ln(y)) = \frac{x^2}{y} \ln(x)+ \frac{x^2}{y} \ln(y) \] \[ = \frac{x^2 \ln x}{y}+ \frac{x^2 \ln y}{y} \]

ce qui conduit à l'expression sous forme développée.

Autres calculatrices d'algèbre utiles

Simplifier et développer des expressions sont deux opérations complémentaires plutôt qu'opposées. Vous avez besoin des deux pour conduire l'algèbre à un niveau efficace. Par exemple, vous pouvez utiliser un simplicateur d'équations simplifier une équation, ce qui implique a priori de rendre les équations plus faciles à résoudre, une capacité pratique à avoir.

En Effet, Résolution d'équations est l'une des capacités les plus cruciales en algèbre, et vous devez maîtriser parfaitement le processus d'expansion et de simplification, ainsi que de réduction et d'augmentation. Toutes ces compétences vous seront utiles.

L'expansion peut s'avérer cruciale dans d'autres contextes, par exemple lors de l'utilisation de la fonction théorème binomial ainsi, pour déterminer les composants d'un terme, il faut, par exemple, les faire correspondre un par un avec une autre expression .