Factorisation polynomiale

Cette calculatrice de polynômes est un type de calculatrice de polynômes qui vous permet d'exprimer une expression sous la forme d'une multiplication de facteurs irréductibles.

Tout ce que vous avez à faire est de fournir un polynôme que vous souhaitez factoriser. Il peut s'agir d'un polynôme de degré inférieur déjà simplifié, comme x^2 - 2x + 3, ou de polynômes d'ordre supérieur nécessitant une simplification, comme x^4 - x + 2x^4 - x^3 + 1.

Une fois que vous avez fourni un expression polynomiale il ne vous reste plus qu'à cliquer sur le bouton "Calculer", et toutes les étapes du processus vous seront montrées.

Bien qu'ils fassent partie des expressions les plus simples à factoriser, les polynômes restent difficiles à traiter en général, en particulier les polynômes de degré supérieur à 5.

Comment factoriser les polynômes

La seule et unique façon systématique de factoriser les polynômes consiste à trouver leurs racines ou leurs zéros. En connaissant ses racines, vous serez en mesure de trouver ses facteurs, grâce au théorème fondamental de l'algèbre.

Par exemple, pour un polynôme de degré 3, s'il y a trois racines \(x_1\), \(x_2\) et \(x_3\), le théorème fondamental de l'algèbre dit que le polynôme peut être écrit comme suit :

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \]

pour une constante \(a\), et il en serait de même pour un polynôme de degré \(n\), avec les racines \(n\) \(x_1\), \(x_2\), ...., \(x_{n-1}\) et \(x_n\), qui peut s'écrire comme suit :

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \]

Quelles sont les étapes de la factorisation des polynômes ?

• Étape 1 : Identifiez le polynôme que vous devez factoriser et faites toutes les vérifications nécessaires simplifications d'expressions le cas échéant
• Étape 2 : Trouver le racines polynomiales à l'aide d'une méthode appropriée, en fonction du degré du polynôme
• Étape 3 : Si le polynôme est de degré 2, utilisez la fonction formule quadratique sinon, utiliser le Théorème du zéro rationnel
• Étape 4 : Une fois que vous avez trouvé toutes les racines, vous pouvez exprimer la factorisation finale sous la forme \(\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \)

L'avantage de la recherche des racines des polynômes est que vous pouvez trouver une racine à la fois et rendre le problème progressivement plus simple. Je vais vous montrer comment :

Supposons que vous ayez un polynôme \(P(x)\) dont vous voulez trouver toutes les racines. Disons que le polynôme a un degré de 5, vous vous attendez donc à 5 racines, dont certaines ne sont pas réelles (complexes).

Supposons que, par pure chance, vous ayez trouvé une racine, disons que nous l'appelons \(x_1\). Ensuite, par le théorème fondamental de l'algèbre, vous savez que \(x-x_1\) divise \(P(x)\), donc \(P(x) = Q(x)(x-x_1)\), où \(Q(x)\) est un polynôme de degré 4.

Vous vous demandez peut-être comment obtenir Q(x). Le simple \(Q(x)\) est obtenu en utilisant Division longue pour diviser \(P(x)\) par \(x-x_1\). Nous savons que le le reste est nul car \(x_1\) est une racine.

N'oubliez pas que vous essayez de résoudre \(P(x) = 0\), donc nous devons maintenant résoudre \(Q(x)(x-x_1)\), ce qui se réduit à résoudre \(Q(x) = 0\). Vous avez donc maintenant un autre Equation polynomiale la solution est plus simple que l'originale. Ensuite, vous continuez avec celui-ci en essayant de trouver une solution et en répétant le processus.

Existe-t-il une méthode plus simple pour factoriser complètement les polynômes ?

Pas vraiment. De manière anecdotique, vous pouvez factoriser en explosant certaines structures spécifiques, vous pouvez factoriser en regroupant si possible, ou vous pouvez exploiter certaines opportunités de factorisation évidentes, comme par exemple une expression telle que \(x^4 + x^2\) se prête évidemment à la factorisation de \(x^2\).

Mais toutes ces astuces dépendent de la structure, ce qui signifie qu'elles nécessitent une structure simplifiée spécifique pour fonctionner, et qu'elles ne sont en aucun cas des façons générales d'aborder le problème.

Pour les polynômes, l'équation sous forme factorisée et les racines réelles fournissent les mêmes informations, à l'exception d'une constante, qui est la constante qui va avec le premier terme (le terme avec l'exposant le plus élevé).

Pourquoi factoriser les polynômes ?

C'est très simple, car c'est la façon de résoudre les équations. Nous ne pouvons pas ignorer le processus de factorisation des polynômes car il est étroitement lié au processus de résolution des équations polynomiales.

Il en va de même pour les équations plus générales, où la factorisation peut aider à décomposer une équation compliquée en équations plus simples. Résolution d'équations se décompose en problèmes plus simples si vous êtes capable de factoriser et de réduire efficacement les expressions.

Exemple : utilisation de la factorisation polynomiale pour résoudre des équations

Résolvez l'équation suivante : \(x^5 = -x^3\)

Solution : L'approche habituelle consiste à tout mettre d'un seul côté de l'équation. Si votre premier réflexe est d'annuler x^2 des deux côtés de l'équation, abstenez-vous car vous perdrez des solutions en le faisant. Vous verrez pourquoi. Nous commençons donc comme suit

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0\]

et nous pouvons maintenant exclure \(x^2\) :

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0 \Rightarrow x^2(x^3 + 1)\]

Maintenant, nous utilisons le vieux truc qui nous dit que \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\), ce qui signifie que

\[x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1)\]

Maintenant que le côté gauche de l'équation est complètement factorisé, nous devons résoudre le problème suivant

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

nous devons donc trouver une solution :

\[x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

Nous utilisons maintenant ses facteurs pour trouver les solutions, tout ce que nous devons faire est de mettre les facteurs égaux à zéro. Les solutions de l'équation sont \(x = 0\), \(x = -1\) et \(x = \frac{-1 \pm i\sqrt 3}{2}\).

Plus de calculateurs de polynômes

Les polynômes sont des objets très utiles en algèbre, en calcul et en physique, et ils sont suffisamment simples pour donner lieu à des théorèmes très généraux et utiles, tels que le théorème fondamental de l'algèbre (qui stipule que tous les polynômes sont des objets d'algèbre), et que tous les polynômes sont des objets d'algèbre équations polynomiales a de nombreuses solutions complexes comme son degré).

Pourtant, les polynômes sont suffisamment durs pour nous fournir quelques équations polynomiales et inégalités polynomiales qui ne peut pas être résolue avec des méthodes élémentaires, et vous devrez essayer de réduire le degré du polynôme en utilisant la fonction Division polynomiale et le Théorème Du Reste .

Ainsi, lorsqu'il s'agit d'objets plus complexes que les polynômes, il est tout à fait raisonnable de penser que vous aurez besoin d'une fonction Calculateur de facteurs qui peut détecter des structures complexes et appliquer diverses identités pour parvenir à une factorisation correcte, et en fin de compte, ce n'est pas toujours possible.