La prueba t para muestras pareadas

Más información sobre el prueba t para dos muestras dependientes para que pueda comprender de una mejor manera los resultados entregados por la calculadora.

¿cómo se calcula una prueba t pareada?

Una prueba t para dos muestras pareadas es una prueba de hipótesis que intenta hacer una afirmación sobre las medias de la población (\(\mu_1\) y \(\mu_2\)). Más específicamente, una prueba t utiliza información de muestra para evaluar qué tan plausible es que la diferencia \(\mu_1\) - \(\mu_2\) sea igual a cero.

La prueba tiene dos hipótesis que no se superponen, la hipótesis nula y la alternativa. La hipótesis nula es una declaración sobre el parámetro de población que indica que no hay efecto, y la hipótesis alternativa es la hipótesis complementaria a la hipótesis nula. La idea de la prueba es evaluar si existe o no significancia estadística. Las principales propiedades de la prueba t para dos muestras pareadas son:

• La prueba requería dos muestras dependientes, que en realidad están emparejadas o emparejadas o estamos tratando con medidas repetidas (medidas tomadas de los mismos sujetos)


• Al igual que con todas las pruebas de hipótesis, dependiendo de nuestro conocimiento sobre la situación "sin efecto", la prueba t puede ser de dos colas, de cola izquierda o de cola derecha.


• El principio fundamental de la prueba de hipótesis es que la hipótesis nula se rechaza si el estadístico de prueba obtenido es lo suficientemente improbable bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera.


• El valor p es la probabilidad de obtener resultados muestrales tan extremos o más extremos que los resultados muestrales obtenidos, bajo el supuesto de que la hipótesis nula es verdadera.


• En una prueba de hipótesis hay dos tipos de errores. El error tipo I ocurre cuando rechazamos una hipótesis nula verdadera y el error tipo II ocurre cuando no rechazamos una hipótesis nula falsa.

¿cómo se calcula manualmente una prueba t pareada? ¿qué fórmula usas?

La fórmula para un estadístico t para dos muestras dependientes es:

\[t = \frac{\bar D}{s_D/\sqrt{n}}\]

donde \(\bar D = \bar X_1 - \bar X_2\) es la diferencia media y \(s_D\) es la desviación estándar muestral de las diferencias \(\bar D = X_1^i - X_2^i\), para \(i=1, 2, ... , n\).

Cómo usar la fórmula de prueba t pareada

• Paso 1: Primero, debe definir cuáles son sus hipótesis nula y alternativa. Las opciones son de dos colas, de cola izquierda o de cola derecha.
• Paso 2: Luego, debe especificar su nivel de significancia. Por lo general, elegirá α = 0,05. Esta es la tolerancia que aceptas para cometer un error tipo I
• Paso 3: Según el nivel de significancia que elija y el tipo de cola, encontrará las estadísticas t críticas mirando una tabla de distribución t o usando una calculadora o Excel. Luego, indicas claramente tu región de rechazo.
• Paso 4: Calcule la estadística t utilizando la fórmula especificada anteriormente t = Dbar/(sd/√n)
• Paso 5: Con base en la estadística t calculada y si cae en la región de rechazo o no, usted determina si rechaza la hipótesis nula o no.
• Paso 6: Utilice la conclusión de la prueba t para dar una interpretación en el contexto del entorno del problema específico.

Ejemplo de prueba t pareada

Pregunta : Suponga que tiene la siguiente muestra de datos emparejados.

	Sample 1	Sample 2	Difference = Sample 1 - Sample 2
	4	2	2
	5	3	2
	6	4	2
	5	5	0
	4	6	-2
	3	4	-1
	5	3	2
Average	4.571	3.857	0.714
St. Dev.	0.976	1.345	1.704
n	7	7	7

¿Se puede rechazar la hipótesis nula de que la diferencia de medias de la población es cero al nivel de significancia de .05?

Solución:

A partir de los datos muestrales, se encuentra que las medias muestrales correspondientes son:

\[\bar X_1 = 4.571\]\[\bar X_2 = 3.857\]

Además, las desviaciones estándar de muestra proporcionadas son:

\[ s_1 = 0.976 \]\[ s_2 = 1.345 \]

y el tamaño de la muestra es n = 7. Para las diferencias de puntuación tenemos

\[ \bar D = 0.714 \]\[ s_D = 1.704 \]

(1) Hipótesis Nula y Alternativa

Se deben probar las siguientes hipótesis nula y alternativa:

\[ \begin{array}{ccl} H_0: \mu_D & = & 0 \\\\ \\\\ H_a: \mu_D & \ne & 0 \end{array}\]

Esto corresponde a una prueba de dos colas, para lo cual se utiliza una prueba t para dos muestras pareadas.

(2) Región De Rechazo

Con base en la información provista, el nivel de significancia es \(\alpha = 0.05\), y el valor crítico para una prueba de dos colas es \(t_c = 2.447\).

La región de rechazo para esta prueba de dos colas es \(R = \{t: |t| > 2.447\}\)

(3) Estadísticas De Prueba

La estadística t se calcula de la siguiente manera:

\[ \begin{array}{ccl} t & = & \displaystyle \frac{\bar D}{s_D/ \sqrt n} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{0.714}{1.704/ \sqrt{7}} \\\\ \\\\ & = & 1.109 \end{array}\]

(4) Decisión sobre la hipótesis nula

Dado que se observa que \(|t| = 1.109 \le t_c = 2.447\), se concluye que no se rechaza la hipótesis nula.

Usando el enfoque del valor P: El valor p es \(p = 0.31\), y dado que \(p = 0.31 \ge 0.05\), se concluye que no se rechaza la hipótesis nula.

(5) Conclusión

Se concluye que la hipótesis nula Ho no es rechazado. Por lo tanto, no hay evidencia suficiente para afirmar que la diferencia de medias poblacionales \(\mu_D = \mu_1 - \mu_2\) es diferente de 0, en el nivel de significancia \(\alpha = 0.05\).

Intervalo De Confianza

El intervalo de confianza del 95% es \(-0.862 < \mu_D < 2.291\).

¿cuál es la alternativa no paramétrica de la prueba t pareada?

Esta es una prueba paramétrica que debe usarse solo si se cumple el supuesto de normalidad. Si falla, debe usar en su lugar este Prueba de rangos con signo de Wilcoxon . Esta calculadora de prueba t emparejada se ocupa de la media y la desviación estándar de los pares.

Otras aplicaciones de prueba t

Muchas veces tiene dos muestras que no están emparejadas, en cuyo caso usaría un calculadora de prueba t para dos muestras independientes . Tenga en cuenta que, en ese caso, las muestras no tienen que tener necesariamente el mismo tamaño.