Calculadora de matrices invertibles

Uno de los elementos centrales del álgebra lineal es el concepto de matriz. Las matrices son matrices de números organizados en filas y columnas.

Las operaciones con matrices pueden definirse de forma intuitiva, especialmente cuando se suman o restan matrices, que al final lo único que se hace es sumar y restar componente a componente.

La idea de multiplicación de matrices es un poco menos intuitivo para los no iniciados pero, tienes que confiar en mí, hay buenas razones por las que la multiplicación de matrices está definida de la forma en que lo está.

¿Para qué se utiliza la matriz inversa?

• Cuando una matriz es invertible, se puede calcular su inversa
• Puedes utilizar la inversa para mover libremente la matriz "al otro lado de la ecuación"
• Esto permite resolver simplemente un sistema de ecuaciones mediante encontrar la inversa de una matriz

¿Qué es la inversa de una matriz?

Las matrices cuadradas (es decir, matrices que tienen el mismo número de filas y columnas) pueden ser invertibles o no.

Que una matriz \(A\) sea invertible significa que existe otra matriz \(B\) tal que el producto de \(A\) y \(B\) es igual a la matriz identidad (una matriz especial con unos en la diagonal y ceros fuera de la diagonal).

¿Por qué te interesa saber si una matriz es invertible o no? Es una buena pregunta. Cuando la matriz es invertible, podemos "pasar la matriz al otro lado", del mismo modo que se haría en una ecuación simple con números.

En este caso, puede encontrar la inversa de la matriz y se "pasa" la inversa de la matriz al otro lado de la ecuación

En términos prácticos, si se tiene una ecuación matricial \( Ax = b \), y \(A\) es invertible, entonces la ecuación tiene una solución única, que se puede escribir como \(x = A^{-1} b\), donde \(A^{-1}\) es la matriz inversa de A, bajo el supuesto de que existe.

¿Cuándo una matriz es invertible?

Hay muchas, muchas maneras de caracterizar si una matriz es invertible o no. Se pueden aplicar diferentes "pruebas" para saber si una matriz es invertible o no. La prueba que elijas dependerá a veces de la estructura de la matriz.

Una prueba comúnmente utilizada para evaluar si una matriz es invertible es calcular primero la determinante de la matriz . Si el determinante es distinto de cero, entonces la matriz es invertible. Pero si es cero, entonces la matriz NO es invertible. Bastante sencillo, ¿no?

¿Es una matriz invertible 3x3? Cómo saber

En primer lugar, como 3x3 es una matriz cuadrada, es una candidata para comprobar su invertibilidad (las matrices no cuadradas se descartan enseguida)

¿Son invertibles todas las matrices de 2x2?

En absoluto. Hay muchas matrices de 2x2 que no son invertibles. Por ejemplo, la matriz

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}\]

es un ejemplo sencillo de una matriz de 2x2 que no es invertible.

¿Cómo se sabe si una matriz es invertible sin determinante?

Como hemos dicho antes, hay muchas pruebas para evaluar si una matriz es invertible o no, y no todos los métodos utilizan el determinante

Un método para hacerlo es utilizar el método de Gauss (utilizando la operación de las matrices elementales) para convertir la matriz en forma de fila-echelón y una vez hecho esto, se mira la diagonal de la forma escalonada: si todas las diagonales son distintas de cero, entonces la matriz es invertible, y si CUALQUIER elemento de la diagonal de la forma escalonada es cero, entonces la matriz no es invertible.

Ejemplo: Invertibilidad de una matriz

Pregunta: Suponga que tiene la siguiente matriz:

\[ \begin{bmatrix}2&1&2\\1&4&1\\2&1&3\end{bmatrix}\]

Solución: Tenemos que determinar si la matriz \(3 \times 3\) que se ha proporcionado es invertible o no.

Paso 1: Método utilizado

Existen varios métodos para determinar si una matriz es invertible o no. El método que utilizaremos en este caso es el del determinante.

En pocas palabras, vamos a calcular el determinante, y si el determinante es diferente de cero, entonces la matriz es invertible, pero es igual a cero, entonces la matriz no es invertible.

Paso 2: Cálculo del determinante

Utilizando la fórmula del subdeterminante obtenemos:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \cdot \left( 3 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 11 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( -7 \right) = 7\]

Paso 3: Conclusión

Concluimos que como \(\det A = \displaystyle 7 \ne 0\), entonces la matriz dada es invertible.