Más esta calculadora de transposición de matrices con pasos

A menudo, la idea de la transposición de matrices se presenta en diferentes contextos. Como hemos visto a menudo, las matrices son muy útiles en resolución de sistemas lineales donde los coeficientes de la ecuación están representados por las filas.

En algunos casos, podría ser útil considerar los coeficientes representados por las columnas, para lo cual resulta útil la matriz transpuesta.

¿Cómo se encuentra la transposición de una matriz?

Como es habitual en matemáticas, habrá una forma de definir la transposición mediante símbolos. Intentemos eso primero. Consideremos \(A\) y una matriz dada, de tamaño \(m \times n\) (así pues, tiene \(m\) filas y \(n\) columnas).

La matriz transpuesta, \(A^T\) será una matriz \(n \times m\) (con \(n\) filas y \(n\) columnas), definida como sigue:

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji} \]

Así, el elemento que está en la coordenada \((i, j)\) de \(A^T\) (esto es, fila i, columna j) es el mismo que el elemento de \(A\) que está en la coordenada \((j, i)\).

En definitiva, es una forma elegante de decir que las filas de \(A^T\) se construyen utilizando las columnas de \(A\). Así de simple.

Así que es súper sencillo, y tienes que seguir estos pasos:

1. Establezca la matriz A que desea transponer
2. Identificar las columnas de la matriz A
3. Forma la matriz de transposición utilizando como filas lo que identificaste como columnas de A

El procedimiento para encontrar la transposición de la matriz

Lo que hemos encontrado arriba nos da un procedimiento para encontrar la transposición de una matriz fácilmente.

Paso 1: Identifica y enumera las columnas de la matriz dada, y enuméralas.

Paso 2: Utiliza esas columnas que encontraste en el paso 1 como filas de una nueva matriz. Esa nueva matriz es tu \(A^T\). Ya está hecho.

¿Cuál es la transposición de una matriz de 2x4?

Yendo al grano, la transposición de una matriz de 2x4 es una matriz de 4x2. Usted necesita obtener las 4 columnas de la matriz original de 2x4 dado, y los utilizan para establecer como filas en el 4x2 transpuesta

¿Qué son las matrices simétricas?

La idea de simetría de las matrices está fuertemente ligada a la transposición de las mismas. En efecto, se dice que una matriz \(A\) es simétrica cuando \(A^T = A\).

Así pues, las matrices simétricas son aquellas que permanecen inalteradas después de transponerlas. Así que una forma de evaluar si una matriz es simétrica o no es calculando su transposición y comparándola con la matriz original .

¿Transponer es la única operación que se puede hacer con las matrices?

No hay duda de que no Las matrices son objetos versátiles, y al igual que los números se puede añadir matrices , restar y multiplicar matrices e incluso en algunos casos se pueden dividir matrices (siempre que sean invertibles).

Ejemplo de transposición de matrices

Pregunta: Considere la siguiente matriz

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

Calcula la matriz de transposición asociada \(A^t\).

Solución: Observa que el tamaño de la matriz dada es \(3 \times 3\), por lo que el tamaño de la matriz transpuesta es \(3 \times 3\)

La transposición de una matriz \(A\), que llamamos \(A^T\), se define formalmente componente a componente, como se muestra utilizando la fórmula

\[ A^{T}_{ij} = A_{ji}\]

En otras palabras, el elemento que está en la i-ésima fila y j-ésima columna de la matriz de transposición es el mismo que el elemento que está en la j-ésima fila y i-ésima columna de la matriz original \(A\).

Por lo tanto, la i-ésima columna de la matriz \(A\) dada corresponde a la i-ésima fila de la matriz transpuesta. Así que para calcular la transposición de una matriz \(A\), simplemente tomamos sus columnas y las convertimos en las filas de la matriz transpuesta. Así obtenemos:

\[ A^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{3}&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{bmatrix} \]

que concluye el cálculo de la transposición \(A^T\).

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