Mehr zu diesem System von Gleichungen Solver

Mit diesem Rechner können Sie die Lösung eines Systems linearer Gleichungen berechnen, vorausgesetzt, die Anzahl der Gleichungen entspricht der Anzahl der Variablen, und Sie können ein System von bis zu fünf Variablen und fünf Gleichungen definieren.

Die Lösung eines Gleichungssystems kann mühsam sein und erfordert viele Berechnungen, insbesondere für große Systeme.

Wie man ein Gleichungssystem lösen

Es gibt mehrere Strategien, aber die am häufigsten verwendeten sind:

• Das Grafische Methode
• Das Substitutionsmethode
• Das EliminierungSmeThode

Diese Methoden werden insbesondere für 2x2 -Systeme verwendet (dies sind Systeme mit 2 Variablen und 2 Gleichungen).Das Problem mit diesen Methoden ist, dass sie für größere Systeme umständlich sind.

Und die grafische Methode gilt nur für 2x2 -Systeme.Für große Systeme können Sie systematischere Regeln wie Gaußsche Eliminierung verwenden und Cramers Methode .

Es gibt verschiedene Methoden, mit denen Lösungen für Systeme linearer Gleichungen berechnet werden können, aber wir bevorzugen die Verwendung der Cramers regel Ansatz, da es eine der einfachsten Möglichkeiten ist, die Berechnung der Systemlösungen zu erinnern.

So lösen Sie ein Gleichungssystem mit diesem Taschenrechner

1. Entscheiden Sie über die Größe des Systems (Anzahl der Variablen und Anzahl der Gleichungen).Die Optionen sind 2x2-, 3x3-, 4x4- und 5x5 -Systeme
2. Sobald die Größe angegeben ist, müssen Sie die zu jeder Variablen zugeordneten Koeffizienten angeben
3. Wenn kein Koeffizient verwendet wird, lassen Sie ihn leer oder geben Sie 0 ein
4. Klicken Sie auf "Berechnen" und dieser Löser zeigt Ihnen alle Schritte und Lösungen an

Cramers Regel hängt eng damit zusammen Reformer von Lösungen Einen Gleimungssystemen Uner Verwendung von Matrizen Sie können also stattdessen auch diese Route verwenden.

Ist dies ein System von 5 Gleichungen Solver?

Ja, mit diesem Solver können Sie die Lösungen für Systeme von bis zu 5 Gleichungen und 5 Variablen erhalten.Die Methodik für mehr Variablen und Gleichungen ändert sich nicht wirklich, aber die Handberechnungen werden sehr lang.Für größere als 5 Gleichungen möchten Sie es also mit einem Computer lösen.

Wie lösen Sie ein Gleichungssystem mit diesem Solver?

Schritt 1: Sie müssen das Gleichungssystem angeben, das Sie lösen möchten, indem Sie die Lücken mit den Koeffizienten des Systems ausfüllen.Beachten Sie, dass, wenn sich eine Variable nicht in der Gleichung befindet, ihr Koeffizient auf Null gesetzt werden sollte.

Schritt 2: Klicken Sie einfach auf "Berechnen", und dieser Löser macht den Rest.Zunächst findet der Taschenrechner das Matrixformular.

Schritt 3: Der Löser berechnet die Determinante der Matrix A. Wenn det (a) = 0, wissen wir, dass das System keine eindeutige Lösung hat.

Schritt 4: Der Taschenrechner berechnet die adjausende Matrix.

Schritt 5: Der Solver verwendet Cramers Regelformel, um die entsprechenden Lösungen zu berechnen:

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Wie würden Sie eine 6 variable Gleichung lösen?

Es wäre genau der gleiche Ansatz, nur dass die Berechnung der Adjoint -Matrix möglicherweise sehr mühsam wäre.Mit einem CAS wie Mathematica oder MATLAB wären Sie besser dran, um die Lösungen zu erhalten und alle Schritt für Schritt zu überspringen, was zu umfangreich sein könnte.

Können Sie Excel verwenden, um ein Gleichungssystem zu lösen?

Technisch gesehen können Sie einige spezielle Gruppenfunktionen wie "= mmult" verwenden, aber normalerweise weiß der durchschnittliche Excel -Benutzer normalerweise nicht, wie es geht.

Der Vorteil dieses Gleichungssystems Solver mit Schritten besteht darin, dass Sie nur das angeben müssen Gleichungssystem Sie möchten mit einem visuell intuitiven von.Von da an müssen Sie lediglich auf "Berechnen" klicken, um eine schrittweise Berechnung zu erhalten.

Beispiel für ein System der Gleichungslösung

Betrachten Sie das folgende Gleichungssystem

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, & z & \, = \,3\\2 x&\, + \, &2 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Lösen Sie das obige System mithilfe von Cramers Regel und zeigen Sie alle Schritte an.

Lösung: Es wurde ein \(3 \times 3\) Systems der linearen Gleichungen bereitgestellt.

Schritt 1: Finden Sie die entsprechende Matrixstruktur

Der erste Schritt besteht darin, die entsprechende Matrix zu finden \(A\) und Vector \(b\), mit der das System als \(A x = b\) geschrieben werden kann.

In diesem Fall und basierend auf den Koeffizienten der bereitgestellten Gleichungen bekommen wir das

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

und

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Schritt 2: Berechnen Sie die Determinante der Matrix

Jetzt müssen wir die Determinante von \(A\) berechnen, um zu wissen, ob wir Cramers Regel verwenden können oder nicht:

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 0 \right) = 2\]

Da \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\) wir schließen, dass die Matrix invertierbar ist und die Verwendung von Cramers Regel fortsetzen können.

Schritt 3: Berechnung der Lösungen

Jetzt müssen wir jede der Lösungen \(x_j\) berechnen, indem wir die Formel verwenden:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

wobei \(A^j\) Korreponds genau zur Matrix \(A\) außer dass die Spalte j durch \(b\) ersetzt wird.

Für \(x\):

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 3 \cdot \left( -2 \right) - 3 \cdot \left( -7 \right) + 1 \cdot \left( -3 \right) = 12\]

Jetzt stellen wir fest, dass \(x\) mit Cramers Formel berechnet wird

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 12 }{ \displaystyle 2} = 6 \]

Für \(y\):

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(4 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -7 \right) - 3 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 3 \right) = -5\]

Jetzt stellen wir fest, dass \(y\) mit Cramers Formel berechnet wird

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -5 }{ \displaystyle 2} = -\frac{5}{2} \]

Für \(z\):

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 3 \right) - 3 \cdot \left( 3 \right) + 3 \cdot \left( 0 \right) = -3\]

Jetzt stellen wir fest, dass \(z\) mit Cramers Formel berechnet wird

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -3 }{ \displaystyle 2} = -\frac{3}{2} \]

Daher und zusammenfassen, ist die Lösung

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 6\\\\\displaystyle -\frac{ 5}{ 2}\\\\\displaystyle -\frac{ 3}{ 2} \end{bmatrix} \]

Dies schließt die Berechnung der Lösungen für das angegebene lineare System ab.