Lösen eines gleichungssystems unter verwendung von matrizen

Lösen von Systemen Linearer Gleiungen Kann leicht eine der praktischsten Fähigkeiten sein, die Sie jemals in Algebra oder sogar in der Mathematik gelernt haben.

Der Grund dafür ist, dass unzählige Anwendungen im wirklichen Leben, die wirklich nützlich sind, mithilfe von Systemen linearer Gleichungen gelöst werden.

Es gibt viele Methoden zur Lösung von Systemen, die normalerweise unterschiedliche Ansätze verwenden.Ein gemeinsamer Ansatz ist der Matrixansatz, der zuerst besteht Umwandung des Gleichungssystems in der Seine -Matrixform .

Wie lösen sie ein gleichungssystem mit matrizen?

Schritt 1: Konvertieren Sie die linearen Gleichungen in Matrix von, wo Sie \(A\) (die Matrix der Koeffizienten, die die entsprechenden multiplizierten) Variablen und \(b\) (der Vektor der rechten Seitenkoeffizienten) identifizieren.

Schritt 2: Berechnen Sie die Umkehrung der Matrix \(A\), die wir \(A^{-1}\) nennen.

Schritt 3: Die Lösung des Systems ist \(x = A^{-1} b\).In den Reihenfolge multiplizieren Sie die Inverse von \(A\) mit \(b\), um den Vektor mit Lösungen zu erhalten.

Beachten Sie, dass dies recht einfach erscheint, aber es gibt viele Berechnungen, um das inverse \(A^{-1}\) zu finden, insbesondere wenn die Größe der Matrix groß ist.Für einen 4x4 und darüber kann es ziemlich lang werden.

Wie können sie also systeme auf einem taschenrechner lösen?

Die Details variieren je nach Taschenrechner speziell.Jede Maschine hat sein und formatiert, um ein System einzugeben.Bei unserem Taschenrechner erhalten Sie ein klares visuelles Panorama der Koeffizienten, die Sie ausfüllen müssen, um das System anzugeben.Danach zeigt der Taschenrechner alle relevanten Schritte.

Was ist konsistenz eines systems linearer gleichungen

Konsistenz bedeutet, dass die Gleichung nicht zu etwas führt, das unmöglich ist, wie "2 = 3".Vor dem Versuch, ein System zu lösen, berechnen Sie in dem Fall, dass Sie die gleiche Anzahl von Gleichungen und Variablen haben, zunächst die Determinante der Matrix.

Wenn sich die Determinante von Null unterscheidet, können Sie sicher mit der Berechnung des Invers fortfahren, und es wird Ihnen garantiert, dass das System keine Inkonsistenz hat.

Was tun, wenn die matrix nicht quadratisch ist: gauß -eliminierung

Diese Methode zur Lösung eines Systems durch Berechnung der Umkehrung der Matrix der Koeffizienten A und multiplizieren Sie es mit B nur, wenn die Anzahl der Variablen mit der Anzahl der Gleichungen übereinstimmt.Wenn dies nicht der Fall ist, wäre es angemessen, die Gauss -Eliminierung zu verwenden.

Beispiel

Betrachten Sie das folgende Gleichungssystem:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,1\\ x&\, + \, & y&\, + \, & z & \, = \,2\\ x&\, + \, & y&\, + \, &2 z & \, = \,3 \end{aligned}\]

Lösen Sie das obige System mit Matrizen.

Lösung: Es wurde ein \(3 \times 3\) Systems linearer Gleichungen bereitgestellt, und wir müssen dieses System mit Matrizen lösen.

Schritt 1: finden sie die entsprechende matrixstruktur

Der erste Schritt besteht darin, die entsprechende Matrix zu finden \(A\) und Vector \(b\), mit der das System als \(A x = b\) geschrieben werden kann.

In diesem Fall und basierend auf den Koeffizienten der bereitgestellten Gleichungen bekommen wir das

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

und

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Schritt 2: berechnen sie die determinante der matrix

Jetzt müssen wir die Determinante von \(A\) berechnen, um zu wissen, ob wir die Umkehrung der Matrix \(A\) berechnen können oder nicht:

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) - 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right) + 2 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left( 1 \right) + 2 \cdot \left( 0 \right) = 1\]

Da \(\det(A) = \displaystyle 1 \ne 0\) wir schließen, dass die Matrix invertierbar ist und mit der Berechnung der Inversen fortgesetzt werden kann.

Schritt 3: berechnung des inversen

Jetzt berechnen wir die Minors -Matrix.Wir haben per Definition die minors matrix \(M\) durch die Formel definiert

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

Wo in diesem Fall \( A^{i,j}\) ist die Matrix \(A\) Nach dem Löschen von Zeile \(i\) und Spalte \(j\).

Daher und basierend auf der Matrix \(A\) vorausgesetzt, wir erhalten die folgenden Koeffizienten der Minors -Matrix:

Für \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Für \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Für \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Für \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Für \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 2\]

Für \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Für \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Für \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = 0\]

Für \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Zusammenfassend ist die Minors -Matrix:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Jetzt können wir die Elemente der Cofaktormatrix \(C\) mit der Formel berechnen

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

Die obige Formel kann direkt verwendet werden, da die Minderjährigen bereits bekannt sind.Wir bekommen

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 1 = (-1)^{ 2} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 0 = (-1)^{ 3} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 2 = (-1)^{ 4} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \cdot 1 = (-1)^{ 5} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 1 = (-1)^{ 6} \cdot 1 = -1\]

Daher lautet die Cofaktormatrix:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Jetzt müssen wir nur die Cofaktormatrix transponieren, die wir zur Berechnung der Adjoint -Matrix gefunden haben.Wir bekommen:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -2&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Schließlich müssen wir jede Komponente der Adjoint -Matrix mit \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{1} = 1\) multiplizieren, was den Adjoint nicht beeinflusst.Also bekommen wir:

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Schritt 4: berechnung der lösungen

Jetzt, da wir das inverse \(A^{-1}\) kennen, wird der Vektor der Lösungen berechnet wie:

\[ x = A^{-1} b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -2&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle -1\cdot 1+\left(-2\right)\cdot 2+0\cdot 3\\[0.6em]\displaystyle 0\cdot 1+\left(-1\right)\cdot 2+\left(-1\right)\cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Daher ist der Lösungsvektor und zusammenfasst, dass der Lösungsvektor ist

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -2\\\\\displaystyle 3\\\\\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Dies schließt die Berechnung der Lösungen für das angegebene lineare System ab.