Über den cramer -regelrechner dieses cramer

Lösen von Systemen Linearer Gleiungen ist eines der wichtigsten Objekte in Algebra.Dies liegt daran, dass viele verschiedene Anwendungen direkt zur Lösung solcher Systeme führen.

Könnte sein, dass Sie mit einem Wortproblem arbeiten oder Soldaten in der Armee optimale Ernährung zuweisen, Sie werden auf eine Art linearer System stolpern.

Und Cramers Regel ist einer der häufigsten Ansätze zur Lösung großer Lösung System der linearen Geilungen insbesondere wenn die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Variablen entspricht.

Es ist nicht so, dass Cramers Regel die Anzahl der Operationen vereinfacht, die zur Lösung eines Gleichungssystems erforderlich sind. Der Ruhm basiert auf der Tatsache, dass es sich um eine Regel handelt, die leicht zu merken ist.

Erstens: wie wird cramers regel berechnet?

Schritt 1: Damit Cramers Regel funktioniert, müssen Sie mit einem Gleichungssystem beginnen, das die gleiche Anzahl von Gleichungen wie die Anzahl der Variablen aufweist.Wenn dies nicht der Fall ist, stoppen Sie die Cramers Regel nicht.

Schritt 2: Identifizieren Sie das Gleichungssystem in Matrixform: \(Ax = b\) wobei \(A\) eine \(n \times n\) Matrix ist, die die Koeffizienten enthält, die die Variablen multiplizieren, und \(A_{ij}\) ist der Koeffizient, der die j multipliziert ^th Variable im i ^th Gleichung und \(b\) ist ein Vektor der Größe \(n\), der die rechte Seite der einzelnen Gleichungen sammelt.

Schritt 3: Berechnen Sie die Determinante der Matrix \(A\).Wenn \(\det(A) = 0\), hat das System mehr als eine Lösung, und Cramers Regel kann nichts anderes tun.

Schritt 4: Sie definieren die zugehörige Matrix \(A^{j}\), um die gleiche zu sein wie die Matrix \(A\), außer dass die Spalte j der Matrix \(A\) durch \(b\) ersetzt wird.

Schritt 5: Wenn \(\det(A) \ne 0\) gibt es eine eindeutige Lösung, und die Komponenten \(x_j\) mit \(j = 1, 2, ..., n\) werden berechnet als

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Wie machen sie cramers regel auf einem taschenrechner?

Verschiedene Taschenrechner führen die Cramer -Regel für Sie durch, aber die Mehrheit wird Ihnen die Schritte nicht zeigen.Out Calculator führt Sie mit allen Details durch alle Schritte.

Wie lösen sie eine 4x4 -matrix in cramers regel?

Einer der Gründe, warum Cramers Regel so beliebt ist, ist, dass sich seine Formulierung für verschiedene Systemgrößen wirklich nicht wesentlich ändert.

In der Tat ist es nicht schwieriger, Cramers Regel für ein 4x4 -System zu tun, als für ein 2x2 -System zu tun (außer der Berechnung der beteiligten Determinanten ist mühsamer)

Letztendlich berechnen Sie unabhängig von der Größe des Systems die Lösungen nach

\[x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j) }{\det(A)}\]

Dies bedeutet, dass Sie die ursprüngliche Matrix einnehmen und eine Spalte von \(A\) durch \(b\) ersetzen und die Determinanten berechnen und den Quotienten finden.

Wie man cramers regelrechner für ax = b macht

Das Lösen von AX = B in diesem Zusammenhang bezieht sich auf die Lösung \(Ax = b\) auf der Matrixebene.Der Trick für die korrekte Verwendung von Cramers Regel besteht darin, ein bestimmtes Gleichungssystem korrekt in eine Matrixgleichung des Formulars zu konvertieren \(Ax = b\).

Beispiel für die verwendung von cramers regel

Frage: Das folgende \(3 \times 3\) System der linearen Gleichungen wurde bereitgestellt:

\[ \begin{aligned} 2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &4 z & \, = \,1\\2 x&\, + \, &3 y&\, + \, &2 z & \, = \,5\\ x&\, + \, &2 y&\, + \, &8 z & \, = \,2 \end{aligned}\]

Lösen Sie das obige System mithilfe von Cramers Regel und zeigen Sie alle Schritte an.

Lösung:

Schritt 1: finden sie die entsprechende matrixstruktur

Der erste Schritt besteht darin, die entsprechende Matrix zu finden \(A\) und Vector \(b\), mit der das System als \(A x = b\) geschrieben werden kann.

In diesem Fall und basierend auf den Koeffizienten der bereitgestellten Gleichungen bekommen wir das

\[ A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{bmatrix} \]

und

\[ b = \begin{bmatrix} \displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Schritt 2: berechnen sie die determinante der matrix

Jetzt müssen wir die Determinante von \(A\) berechnen, um zu wissen, ob wir Cramers Regel verwenden können oder nicht:

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Da \(\det(A) = \displaystyle 2 \ne 0\) wir schließen, dass die Matrix invertierbar ist und die Verwendung von Cramers Regel fortsetzen können.

Schritt 3: berechnung der lösungen

Jetzt müssen wir jede der Lösungen \(x_j\) berechnen, indem wir die Formel verwenden:

\[ x_j = \displaystyle \frac{\det(A^j)}{\det(A)}\]

wobei \(A^j\) Korreponds genau zur Matrix \(A\) außer dass die Spalte j durch \(b\) ersetzt wird.

Für \(x\):

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 3 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 5 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( 20 \right) - 3 \cdot \left( 36 \right) + 4 \cdot \left( 4 \right) = -72\]

Jetzt stellen wir fest, dass \(x\) mit Cramers Formel berechnet wird

\[x = \displaystyle \frac{\det(A^{ 1}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -72 }{ \displaystyle 2} = -36 \]

Für \(y\):

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 5 \cdot \left( 8 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) \right) - 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 8 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) \right) + 4 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( 36 \right) - 1 \cdot \left( 14 \right) + 4 \cdot \left( -1 \right) = 54\]

Jetzt stellen wir fest, dass \(y\) mit Cramers Formel berechnet wird

\[y = \displaystyle \frac{\det(A^{ 2}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 5&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle 54 }{ \displaystyle 2} = 27 \]

Für \(z\):

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 3 \cdot \left( 2 \right) - 2 \cdot \left(5 \right) \right) - 3 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(5 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) \right)\] \[ = 2 \cdot \left( -4 \right) - 3 \cdot \left( -1 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = -4\]

Jetzt stellen wir fest, dass \(z\) mit Cramers Formel berechnet wird

\[z = \displaystyle \frac{\det(A^{ 3}) }{\det(A)} = \displaystyle \frac{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 5\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 8 \end{vmatrix} } = \displaystyle \frac{ \displaystyle -4 }{ \displaystyle 2} = -2 \]

Daher und zusammenfassen, ist die Lösung

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle x\\\\\displaystyle y\\\\\displaystyle z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -36\\\\\displaystyle 27\\\\\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

Dies schließt die Berechnung der Lösungen für das angegebene lineare System ab.