Expansão de expressões

Esta calculadora de expansão permitirá expandir uma expressão fornecida, mostrando todas as etapas relevantes. Pode ser uma expressão relativamente simples como 2(x-1)^2, ou pode ser algo mais complexo envolvendo alguns funções compostas .

Uma vez fornecida uma expressão válida, basta clicar em "Calcular" para obter os resultados, com todos os passos relevantes mostrados, mostrando como chegar à resposta final.

A álgebra de frações envolve a conversão de frações, como o uso de denominador comum e o uso de regras aritméticas básicas. Em suma, o processo de cálculo pode ser trabalhoso, embora possa ser feito sistematicamente, sem grandes problemas.

O que significa expandir uma expressão?

Em grande medida, expandir uma expressão é o oposto de simplificando uma expressão , mas há mais do que isso, pois os termos estão emaranhados.

Por exemplo, se você tiver a expressão:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 \]

como você o expandiria? Pelo significado da palavra, você poderia pensar que está tentando tornar a expressão tão grande quanto possível, tão “expandida” quanto possível. Sob essa luz, você poderia dizer, temos a seguinte expansão:

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 \]

Não sei sobre você, mas para mim isso parece um pouco incompleto: você gostaria de deixar a parte "2 - 3" sem processamento? Eu não faria, em vez disso faria

\[\displaystyle 2(x+1)-3 = 2x + 2 - 3 = 2x - 1\]

Então, como vocês podem ver, há um pouco de simplificação nesse processo de expansão. Portanto, não é totalmente verdade que expandir seja o oposto de simplificar. Expandir uma expressão consiste em seguir regras PEMDAS para distribuir termos, e então isso envolve um simplificação de expressões papel.

Como faço para expandir uma expressão ou uma equação?

O processo de expansão, como mencionamos anteriormente, não se trata apenas de tornar o termo “o mais ampliado possível”, mas é uma mistura de distribuição e simplificação de termos. Mas também há um nível de granularidade que você precisa decidir, porque as distribuições não são as únicas expansões possíveis de serem feitas.

Por exemplo, podemos pensar em operações com expressões radicais . Suponha que você esteja lidando com alguma expressão simples como

\[\displaystyle \sqrt{xy}\]

Como você expandiria isso? Você faria essa expansão?

\[\displaystyle \sqrt{xy} = \sqrt{x} \sqrt{y}\]

Embora esta seja uma operação válida, algumas pessoas questionariam o seu sentido, dizendo "por que você expandiria uma expressão que já está perfeitamente simplificada?" Mas existem alguns usos válidos, por exemplo, você pode ter um \(\sqrt y\) no denominador, caso em que você teria

\[\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\]

o que também leva à seguinte pergunta, qual é a expansão "correta": \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \displaystyle \frac{\sqrt{x} \sqrt{y}}{\sqrt{y}}\) ou \(\displaystyle \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{y}} = \sqrt{x}\)?

Espero que estes pontos tenham ajudado você a perceber que não existe uma maneira única de expandir uma expressão. Você deve seguir as seguintes etapas quando precisar expandir um termo:

• Passo 1: Identifique a granularidade do seu processo de expansão: você expandirá apenas distribuindo ou expandirá termos como radicais usando as regras dos radicais, expressão trigonométrica (usando identidades trigonométricas), expressões exponenciais (usando a regra da potência), expressões logarítmicas , etc.
• Passo 2: Uma vez decidida a granularidade da expansão da expressão com a qual você se comprometerá, será necessário seguir as regras PEMDAS correspondentes que regerão tal expansão, prestando atenção às regras de prioridade estabelecidas pelo PEMDAS
• Etapa 3: Uma vez que sua expressão seja expandida de acordo com os passos anteriores, você precisa agrupar termos semelhantes se necessário, realizando uma “simplificação da expansão”.
• Passo 4 : Preparar. Agora você encontrou a expressão expandida?

A maioria dos sistemas de álgebra computacional existentes (CAS), como Mathematica, Sage, Octave, etc., usam critérios diferentes ao expandir e simplificar, muitas vezes levando a resultados finais diferentes.

Como você expande exponenciais?

Como mencionamos antes, tudo depende da granularidade da expansão: ou seja, que tipo de expressão você deseja expandir, apenas distribuição de multiplicações e adições, ou incluirá outros tipos.

Para o caso de exponenciais, por exemplo, segue diretamente a regra da potência que afirma que

\[\displaystyle a^{x+y}= \displaystyle a^x a^y \]

o que lhe dá ali mesmo a expansão que você procura.

Como você expande um polinômio?

Polinômios normalmente são expandidos usando a propriedade de distribuição. Por exemplo, você pode querer expandir este produto de polinômios:

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 \]

Aplicando a propriedade distributiva, descobrimos que

\[\displaystyle 2x^2(x^3+1)-4 = 2x^2 \cdot x^3 + 2x^2 - 4 = 2x^{2+3} + 2x^2 - 4 = 2x^5 + 2x^2 - 4 \]

Como você pode ver, a expansão de polinômios envolve um uso relativamente simples da regra de distributividade. Definitivamente, as coisas podem ficar mais complexas ao misturar diferentes tipos de expressões, mas isso expandir calculadora de expressão tratará não apenas de polinômios, mas também da combinação de diferentes tipos de expressão, com regras específicas a serem expandidas.

Outro tipo comum de expansão para polinômios é baseado no teorema da expansão binomial , que mostra como expandir um poder como \((x+y)^n\). Como você pode ver, a trama se complica e as coisas podem ficar realmente complexas.

Por que você deseja expandir uma expressão?

Os motivos são muitos, inclusive para cancelar termos, mas não só, pois muitas vezes podemos expandir a expressão para entender um pouco melhor sua estrutura e propriedades.

A questão de como simplificar uma expressão e como expandir uma expressão poderiam parecer opostos à primeira luz, mas vimos que na verdade eles andam de mãos dadas e se entrelaçam.

Exemplo de uma expressão na forma expandida

Coloque a seguinte expressão na forma expandida \(\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) \)

Solução: Suponhamos que decidimos expandir todos os tipos de expressões, incluindo equações logarítmicas. Neste caso, a expressão com a qual estamos lidando tem um termo fracionário que não pode ser expandido de forma significativa, mas a parte logarítmica pode ser expandida como \(\ln(xy) = \ln(x)+\ln(y)\). Então obtemos

\[\frac{x^2}{y} ( \ln(xy)) = \frac{x^2}{y} (\ln(x)+\ln(y)) = \frac{x^2}{y} \ln(x)+ \frac{x^2}{y} \ln(y) \] \[ = \frac{x^2 \ln x}{y}+ \frac{x^2 \ln y}{y} \]

o que leva à expressão na forma expandida.

Outras calculadoras de álgebra úteis

Expressões de simplificação e expansão são duas operações complementares, e não operações opostas. Você precisa de ambos para conduzir Álgebra com eficiência. Por exemplo, você pode querer usar um Simplificar Equação simplificar equações, o que a priori implica tornar as equações mais fáceis de resolver, uma capacidade prática de ter.

De Fato, Resolvendo equações é uma das habilidades mais importantes da Álgebra, e você precisa ter total fluência no processo de expansão e simplificação, bem como de redução e aumento. Todas essas habilidades serão úteis.

A expansão pode ser crucial noutro contexto, por exemplo, quando se utiliza o teorema binomial , portanto, para detalhar quais componentes um termo deve, por exemplo, combiná-los um por um com outra expressão.