Instruções:
Use esta calculadora para encontrar derivadas de funções trigonométricas inversas, mostrando todas as etapas. Por favor, digite a função que contém uma função trigonométrica inversa na caixa de formulário abaixo.
Derivadas trigonométricas inversas
Com esta calculadora você poderá calcular derivadas de funções trigonométricas inversas, mostrando todas as etapas do processo.
A ideia é que a função que você fornece contém uma função trigonométrica inversa, por exemplo f(x) = x^2/arctan(x+1), apenas para dar um exemplo.
Quando estiver pronto e terminar de digitar a função que você precisa diferenciar, clique no botão "Calcular" para ver todas as etapas do processo e cálculos.
Em termos simples, a função trigonométrica inversa são aquelas funções que ao avaliá-las na função trigonométrica correspondente, levam à identidade. Por exemplo, se considerarmos a função sin(x), sua função inversa é arcsin(x), e esta inversa tem a propriedade de
sin(arcsin(x))=x
assim como
arcsin(sin(x))=x
para todo x em um determinado intervalo. Então, estritamente, arcsin(x) é a função inversa de sin(x) de um ponto de vista algébrico. E o mesmo vale para as outras funções trigonométricas inversas e suas funções trigonométricas correspondentes.
Cálculo de derivadas trigonométricas inversas
Então, se f é uma função, e tem um inverso f−1, então temos que
f−1(f(x))=x
para todos os x. Então, se diferenciarmos os dois lados da igualdade e usarmos a Regra da Cadeia no lado esquerdo, obtemos
(f−1)′(f(x))f′(x)=1(f−1)′(f(x))=f′(x)1
Agora, se definirmos y=f(x), então x=f−1(y), o que leva a
(f−1)′(y)=f′(f−1(y))1⇒(f−1)′(x)=f′(f−1(x))1
Como usamos isso para funções trigonométricas inversas? Assuma f(x)=sin(x) e f−1(x)=arcsin(x). Então, de acordo com a relação geral entre a derivada de uma função e a derivada de sua inversa, obtemos
O restante das derivadas trigonométricas inversas são obtidas com argumentos semelhantes.
Quais são as 6 funções trigonométricas inversas básicas?
#1:
dxdarcsin(x)=1−x21>
#2:
dxdarccos(x)=−1−x21>
#3:
dxdarctan(x)=1+x21>
#4:
dxdarccot(x)=−1+x21>
#5:
dxdarcsec(x)=xx2−11>
#6:
dxdarccsc(x)=−xx2−11>
Curiosamente, ao calcular a derivada de funções trigonométricas inversas, nenhuma das derivadas trigonométricas inversas envolve funções trigonométricas ou funções trigonométricas inversas.
Aplicações da derivada de funções trigonométricas inversas
Funções trigonométricas e suas derivadas, bem como funções trigonométricas inversas e suas derivadas fazem parte do inventário de funções e operações básicas, usadas como blocos de construção, para criar funções mais complicadas.
Embora as funções trigonométricas apareçam com mais frequência nas aplicações do que as funções trigonométricas inversas, as últimas também têm um lugar claro no Cálculo, especialmente ao diferenciar e usar o método de decomposição de frações parciais.
Dicas e truques
Não se esqueça que as derivadas das funções trigonométricas inversas podem ser extremamente úteis, especialmente ao integrar termos que possuem um denominador quadrático.
Além disso, é fácil cometer erros ao calcular derivadas trigonométricas inversas por definição, você definitivamente pode se beneficiar usando um
calculadora derivada
que mostrará as etapas ou que você pode usar para verificar seu trabalho.
Exemplo: derivadas trig inversas
Calcule a derivada de: f(x)=x+arcsin(x2)
Solução:
Para este primeiro exemplo, vamos analisar f(x)=x+arcsin(x2). Esta função envolve uma função trigonométrica inversa, combinada com outra função. Vamos calcular sua derivada:
dxd(x+arcsin(x2))
By linearity, we know dxd(x+arcsin(x2))=dxd(x)+dxd(arcsin(x2)), so plugging that in:
=
dxd(x)+dxd(arcsin(x2))
But we know already that dxd(x)=1
=
1+dxd(arcsin(x2))
By using the Chain Rule: dxd(arcsin(x2))=1−(x2)2dxd(x2)
=
1+1−(x2)2dxd(x2)
In this case we use the Power Rule for polynomial terms: dxd(x2)=2x
=
1+1−(x2)22x
which then leads to
=
1+1−x42x
Respondente
: Podemos concluir que a derivada da função é:
f′(x)=1−x42x+1−x4
Podemos ver tanto a função quanto sua derivada no seguinte gráfico:
Exemplo: mais derivadas trigonométricas inversas
Considere a seguinte função: f(x)=xarcsin(x), calcule sua derivada.
Solução:
Já para o segundo exemplo, temos a função f(x)=xarcsin(x).
dxd(xarcsin(x))
The Quotient Rule applies in this case: dxd(xarcsin(x))=x2x⋅dxd(arcsin(x))−arcsin(x)⋅dxd(x)
Derivadas para funções trigonométricas inversas podem ser derivadas simplesmente da
Derivativos
de derivadas trigonométricas básicas, e é por isso que também as consideramos dentro do grupo de derivadas básicas para aprender ou mesmo memorizar.