A calculadora de gradiente

Esta calculadora de gradiente com etapas ajudará você a encontrar o vetor de gradiente de uma determinada função multivariada que você fornecer. Esta função precisa ser uma função diferenciável válida com 2 ou mais variáveis.

A função que você fornece precisa vir com uma definição completa de seu nome de variável e função, por exemplo f(x, y) = x^2 + y^2 ou f(x,y,z) = xy+z*sin (xi), etc.

Uma vez fornecida uma função multivariável válida, basta clicar no botão "Calcular", para obter todos os passos mostrados.

Os gradientes representam a extensão natural das derivadas para a situação multivariável, na qual a taxa de variação é melhor definida por um vetor do que por um número.

O que é o gradiente

Em termos simples, o gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais de primeira ordem de uma função multivariável $f$. Então, para uma função de duas variáveis $f(x, y)$, seu gradiente seria um vetor bidimensional $\nabla f(x, y) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$.

Da mesma forma, para uma função de três variáveis $f(x, y, z$, seu gradiente seria um vetor tridimensional $\nabla f(x, y, z) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$, e assim por diante.

Etapas para calcular o gradiente

• Passo 1: Identifique a função com a qual você deseja trabalhar e identifique o número de variáveis envolvidas
• Passo 2: Encontrar o primeiro pedido Derivativo parcial em relação a cada uma das variáveis
• Passo 3: Construa o gradiente como o vetor que contém todas as derivadas parciais de primeira ordem encontradas na Etapa 2

Opcionalmente, você pode simplificar, se possível, depois de concluir a Etapa 3. Então, com o gradiente, você tem a versão do que é a derivada para uma função univariada, neste caso para uma função multivariada.

Aplicações do gradiente

Assim como no caso de funções univariadas ao procurar por pontos críticos precisamos encontrar os pontos onde a derivada é zero, para funções multivariadas precisamos buscar pontos nos quais o gradiente é igual a zero para encontrar pontos críticos.

Além disso, o equivalente aos testes da segunda derivada vem na forma da regra hessiana para funções multivariadas.

Dicas e truques

Lembre-se que o Gradiente é definido para funções multivariadas, com duas ou mais variáveis. Além disso, lembre-se de que o gradiente é um vetor, onde cada um dos componentes é uma função. Mais precisamente, cada um de seus componentes é um Derivativo parcial de primeira ordem.

Como forma de checar seu trabalho, não esqueça que o gradiente é um vetor com dimensão igual ao número de variáveis independentes definidas na função.

Exemplo: calculadora de gradiente

Encontre o gradiente associado à função: $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$

Solução: Consideramos a seguinte função multivariada: $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, então precisamos calcular seu gradiente.

Diferenciando em relação a $x$

Diferenciando em relação a $y$

Diferenciando em relação a $z$

Conclusão: Portanto, podemos concluir que o gradiente da função dada $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ é igual a:

$$\nabla f = \left(2x,2y,2z\right)$$

Exemplo de cálculo de gradiente

Para a seguinte função: $f(x, y) = xy$, encontre seu gradiente.

Solução: Para este exemplo temos uma função de duas variáveis x e y: $\displaystyle f(x,y)=xy$.

Primeiro, diferenciando em relação a x

Agora, diferencie em relação a y

Conclusão: Obtemos diretamente que o gradiente da função $\displaystyle f(x,y)=xy$ é:

$$\nabla f = \left(y, x\right)$$>

Mais exemplos de gradientes

Calcule o gradiente correspondente de $f(x, y) = x^2 - y^2 - xy$.

Solução: Por fim, a seguinte função precisa ser analisada neste exemplo: $\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy$. Como é uma função multivariada, faz sentido calcular seu gradiente.

Passo 2: Encontre a derivada em relação a $x$

Passo 2: Encontre a derivada em relação a $y$

Conclusão: Portanto, podemos concluir que o gradiente da função dada $\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy$ é igual a:

$$\nabla f = \left(2x-y,-x-2y\right)$$>

Mais calculadoras derivadas

Usando um calculadora derivada pode definitivamente tornar sua vida mais fácil, pois permitirá que você acompanhe todas as Regras de Derivadas .

A maioria dos regras de diferenciação usados para funções univariadas têm seus equivalentes para funções multivariadas. Desta forma, o Regra Da Cadeia , Regra Do Produto e Regra Do Quociente também funcionará para função multivariada, tendo em mente as dimensões corretas.