Fatoração polinomial

Este tipo de calculadora polinomial é um tipo de calculadora polinomial que permitirá colocar uma expressão como uma multiplicação de fatores irredutíveis.

Tudo que você precisa fazer é fornecer um polinômio que deseja fatorar. Pode ser um polinômio de grau inferior que já vem simplificado, como x^2 - 2x + 3, ou você pode fornecer polinômios de ordem superior que requerem simplificação, como x^4 - x + 2x^4 - x^3 + 1.

Depois de fornecer um válido expressão polinomial , o que você precisa fazer a seguir é clicar no botão "Calcular", e então você obterá todas as etapas do processo que lhe são mostradas.

Embora estejam entre as expressões mais simples de serem fatoradas, os polinômios ainda são difíceis de lidar em geral, especialmente com polinômios de grau superior a 5.

Como fatorar polinômios

Existe uma e única maneira sistemática de fatorar polinômios é encontrar suas raízes ou zeros. Conhecendo suas raízes você poderá encontrar seus fatores, devido ao Teorema Fundamental da Álgebra.

Por exemplo, para um polinômio de grau 3, se houver três raízes \(x_1\), \(x_2\) e \(x_3\), o Teorema Fundamental da Álgebra diz que o polinômio pode ser escrito como:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \]

para uma constante \(a\), e o mesmo aconteceria para um polinômio de grau \(n\), com raízes \(n\) \(x_1\), \(x_2\), ...., \(x_{n-1}\) e \(x_n\), que podem ser escrito como:

\[\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \]

Quais são as etapas para fatorar polinômios

• Passo 1: Identifique o polinômio que você precisa fatorar e faça qualquer cálculo óbvio simplificações de expressão caso existam
• Passo 2: Encontre o raízes polinomiais , usando um método adequado, dependendo do grau do polinômio
• Etapa 3: Se o polinômio tiver grau 2, use o Fórmula quadrática , caso contrário, use o Teorema do Racional Zero
• Passo 4: Depois de encontrar todas as raízes, você pode expressar a fatoração final como \(\displaystyle p(x) = a (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)....(x-x_n) \)

A vantagem de encontrar raízes de polinômios é que você pode encontrar uma raiz de cada vez e tornar o problema progressivamente mais simples. Deixe-me mostrar como:

Suponha que você tenha um polinômio \(P(x)\) no qual deseja encontrar todas as suas raízes. Digamos que o polinômio tenha grau 5, então você espera 5 raízes, algumas delas não reais (complexas).

Digamos que por mera sorte você encontrou uma raiz, digamos que a chamamos de \(x_1\). Então, pelo Teorema Fundamental da Álgebra você sabe que \(x-x_1\) divide \(P(x)\), então \(P(x) = Q(x)(x-x_1)\), onde \(Q(x)\) é um polinômio de grau 4.

Você pode estar se perguntando "Como faço para obter Q(x)??". \(Q(x)\) simples é obtido usando Divisão longa para dividir \(P(x)\) por \(x-x_1\). Sabemos que o resto é zero porque \(x_1\) é uma raiz.

Não esqueça que você está tentando resolver \(P(x) = 0\), então agora temos que resolver \(Q(x)(x-x_1)\), que se resume a resolver \(Q(x) = 0\). Então agora você tem outro Equação Polinomial , só que mais simples que o original. E então você prossegue tentando encontrar uma solução e repetindo o processo.

Existe uma maneira mais simples de fatorar polinômios completamente?

Na verdade. Curiosamente, você pode fatorar explodindo algumas estruturas específicas, pode fatorar agrupando, se possível, ou pode explorar algumas oportunidades de fator óbvias, como, por exemplo, uma expressão como \(x^4 + x^2\) obviamente se presta a fatorar \(x^2\).

Mas todos esses truques dependem da estrutura, o que significa que precisam de uma estrutura simplificada específica para funcionar e não são de forma alguma formas gerais de abordar o problema.

Para polinômios, a equação da forma fatorada e as raízes reais fornecem as mesmas informações, exceto por uma constante, que é a constante que acompanha o termo principal (o termo com o expoente mais alto).

Por que fatorar polinômios

Muito simples, porque é a forma de resolver equações. Não podemos pular o processo de fatoração de polinômios porque ele está intimamente ligado ao processo de resolução de equações polinomiais.

O mesmo acontece com equações mais gerais, onde a fatoração pode ajudar a decompor uma equação complicada em outras mais simples. Resolvendo equações é dividido em problemas mais simples se você for capaz de fatorar e reduzir expressões de maneira eficaz.

Exemplo: usando fatoração polinomial para resolver equações

Resolva a seguinte equação: \(x^5 = -x^3\)

Solução: A abordagem usual consiste em colocar tudo de um lado da equação. Se o seu primeiro reflexo for cancelar x ^ 2 de ambos os lados da equação, evite, porque você perderá soluções ao fazer isso. Você verá por quê. Então começamos assim

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0\]

e agora podemos fatorar \(x^2\):

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^5 + x^3 = 0 \Rightarrow x^2(x^3 + 1)\]

Agora, usamos o velho truque que nos diz que \(x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)\), o que significa que

\[x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1)\]

Agora que você fatorou completamente o lado esquerdo da equação, vemos que precisamos resolver

\[x^5 = -x^3 \Rightarrow x^2(x^3+1) = x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

então precisamos resolver:

\[x^2 (x+1)(x^2-x+1) = 0\]

Agora utilizamos os seus fatores para determinar as soluções, tudo o que precisamos de fazer é igualar os fatores a zero. As soluções da equação são \(x = 0\), \(x = -1\) e \(x = \frac{-1 \pm i\sqrt 3}{2}\).

Mais calculadoras polinomiais

Polinômios são objetos muito úteis em Álgebra, Cálculo em Física, e são simples o suficiente para ter alguns teoremas muito gerais e úteis, como o Teorema Fundamental da Álgebra (que afirma que todos equações polinomiais tem muitas soluções complexas como seu grau).

No entanto, os polinômios são suficientemente difíceis para nos fornecer algumas equações polinomiais e desigualdades polinomiais que não pode ser resolvido com métodos elementares, e você precisará tentar reduzir o grau do polinômio usando o divisão polinomial e a Teorema Do Resto .

Portanto, ao lidar com objetos que são mais complexos que polinômios, é razoável pensar que você precisará de um Calculadora de fator que pode detectar estruturas complexas e aplicar identidades diversas para chegar a uma fatoração adequada e, em última análise, nem sempre é possível.