Mais sobre esta equação de uma calculadora de círculo

Esta calculadora permitirá que você obtenha o equação do círculo na forma padrão e em Forma geral , mostrando todas as etapas. Você precisa fornecer um raio válido do círculo (uma expressão numérica positiva válida), bem como as coordenadas xey de seu centro.

As expressões numéricas que você fornece podem ser algo como '1/2' ou uma expressão composta como '1/3+1/4'. Observe que o raio deve ser positivo.

Depois de fornecer as informações necessárias com entradas válidas, você precisa clicar no botão "Calcular" e todas as etapas dos cálculos serão mostradas a você.

A maneira mais simples de proceder neste caso é primeiro obter o forma padrão do círculo com os dados fornecidos e, em seguida, simplesmente expanda essa expressão para obter o forma geral da equação do círculo .

Você também pode estar interessado nos processos opostos, você pode querer começar com uma equação geral e encontre seu centro e raio .

Qual é a equação de um círculo

A equação de um círculo é uma das equações mais conhecidas em matemática, e é dada pela seguinte fórmula:

\[\displaystyle (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

Na fórmula acima, r representa o raio do círculo e \((x_0, y_0)\) é o seu centro.

Há um caso especial em que o centro da equação é a origem (0, 0), caso em que a fórmula do Equação de um círculo reduz a:

\[\displaystyle x^2 + y^2 = r^2 \]

E além de ter o centro da equação é a origem (0,0), temos que o raio é r = 1, temos o caso mais simples possível, conhecido como círculo unitário :

\[\displaystyle x^2 + y^2 = 1 \]

Quais são os passos para encontrar a equação de um círculo

• Passo 1: Identifique o raio do círculo r. Se não for fornecido, basta deixar como r
• Passo 2: Identifique as coordenadas do centro do círculo X0 e Y0
• Passo 3: Depois de conhecer o raio e o centro, basta inseri-los na fórmula Use a fórmula de adição \(\displaystyle (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2\)
• Passo 4: Se o círculo tem seu centro na origem (0, 0), use a versão simplificada \(\displaystyle x^2 + y^2 = r^2\) onde tudo que você precisa saber é o raio r

Observe que o processo acima é sobre encontrar a equação de um círculo com centro e raio dados. Outra maneira de obter a equação de um círculo é começar com uma equação geral de círculo e, em seguida, agrupar e manipular a expressão para encontrar o raio e o centro.

Explicação da equação de um círculo

A equação de um círculo tem dois caminhos, de volta e ambos em termos de sua formulação e interpretação. Por um lado, se você conhece o raio r de um círculo e seu centro \((x_0, y_0)\), pode dizer que já sabe tudo o que precisa saber sobre o círculo, pelo menos geometricamente.

Quero dizer, com o raio e o centro conhecidos, você pode realmente DESENHAR o círculo. Você também pode escrever

\[\displaystyle (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

e diga "essa é a equação do círculo", mas pelo raio e centro conhecidos, você já sabe tudo o que precisava saber sobre o círculo em questão.

Por outro lado, e se você tivesse uma equação como essa fornecida a você?

\[\displaystyle (x - x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

Bem, nesse caso você sabe que r é o raio e \((x_0, y_0)\) é o seu centro. Por quê? Bem, vem diretamente de Teorema De Pitágoras .

Equação geral de uma calculadora de círculo

Se dado na forma padrão, você saberá tudo o que precisa saber sobre o círculo, porque conhece diretamente o raio e o centro. Mas e se você receber uma equação geral?

• Passo 1: Identifique a equação geral dada. Precisa ser uma equação que é quadrática em x e y, caso contrário você não pode continuar
• Passo 2: Uma vez que você tenha a equação geral, certifique-se de que os coeficientes que multiplicam x^2 e y^2 são os mesmos, caso contrário você não pode continuar
• Passo 3: Uma vez que você tenha uma equação geral válida, você faz um Complete os quadrados procedimento para x e y
• Passo 4: Depois de chegar à equação padrão completando quadrados e reorganizando os termos, você identifica o centro e o raio diretamente

O procedimento de completar o quadrado pode ser tedioso, mas é sistemático e não deve ser muito difícil de conduzir.

Qual é a equação mais simples de um círculo?

A equação mais simples de um círculo é a de um círculo unitário , e é dado por \(x^2+y^2 = 1\). Todos os outros círculos podem ser obtidos com base no círculo unitário por translações e expansões ou contrações.

O centro de todos os círculos, porém, é o círculo unitário, que está fortemente enraizado na Álgebra e na Trigonometria.

Exemplo: calculando a equação de um círculo

Calcule o seguinte: A equação de um círculo com raio r = 3 e centro (3, -4).

Solução:

Precisamos encontrar a forma padrão de um círculo, onde o raio fornecido é \(r = \displaystyle 3\) e o centro fornecido é \(\left(\displaystyle 3, -4 \right)\).

A equação do círculo na forma padrão tem a seguinte estrutura:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \]

onde \(x_0\) e \(y_0\) são as coordenadas xey correspondentes do centro e \(r\) é o raio. Portanto, tudo o que precisamos fazer para determinar completamente a forma padrão do círculo é identificar claramente o centro e o raio e colocá-los na fórmula acima.

Neste caso, pelas informações fornecidas já sabemos que \(x_0 = \displaystyle 3\) e \(y_0 = \displaystyle -4\) e \(r = 3\). Conectando isso obtemos:

\[\displaystyle (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-3\right)^2+\left(y-\left(-4\right)\right)^2=3^2 \] \[\Rightarrow \displaystyle \left(x-3\right)^2+\left(y+4\right)^2=9 \]

Agora, passamos a constante que está do lado direito para o esquerdo com sinal negativo e simplificamos. Obtém-se o seguinte:

Portanto, descobrimos da simplificação acima que a equação do círculo na forma geral é:

\[\displaystyle x^2+y^2-6x+8y+16 = 0\]

Isso conclui o cálculo. Descobrimos que a equação do círculo na forma padrão é \(\displaystyle \left(x-3\right)^2+\left(y+4\right)^2=9\). Além disso, verificou-se que a forma geral do círculo neste caso é \(\displaystyle x^2+y^2-6x+8y+16 = 0\).

Exemplo: mais sobre como encontrar a equação de um círculo

Calcule o seguinte: \(\frac{1}{3} + \frac{5}{4} - \frac{5}{6}\)

Solução:

que conclui o cálculo.

Exemplo: cálculos de equações circulares

Calcule \( \left(\frac{2}{3} \times \frac{6}{5} \right)+ \frac{2}{5} \).

Solução:

que conclui o cálculo.

Outras calculadoras de círculo úteis

Os círculos e suas propriedades desempenham um papel crucial na matemática. O que você pode fazer com um fórmula do círculo ? Muito! Por exemplo, você pode usar o formula da area de um circulo ou também usar o seu Fórmula de circunferência para obter área e perímetro, respectivamente.

Há coisas sobre os círculos que estão intrinsecamente incorporadas em todos os lugares da matemática. Sua perfeita simetria e sua estreita associação com \(\pi\) os transformaram em um fascinante objeto de estudo para matemáticos de todos os tempos.