Completando a calculadora quadrada

Qual é o significado de completar o quadrado? Bem, a ideia é ter o quadrado de alguma coisa. Sempre que você tiver uma expressão quadrática da forma \(ax^2 + bx + c\), você gostaria de tê-la como o "quadrado de algo".

Analisando a expressão, o único quadrado que você vê é a parte \(a x^2\), que contém o quadrado de \(x\), mas aí você tem outras coisas além do quadrado. Matematicamente, sempre é possível colocar uma expressão quadrática da forma \(ax^2 + bx + c\) como o "quadrado de algo", mas potencialmente precisaríamos adicionar uma constante.

Às vezes, se essa constante for zero, obteríamos o que é chamado de quadrado perfeito .

Como completar o quadrado? Completando os quadrados, ou aperfeiçoando o quadrado como também é conhecido, é simplesmente o processo de colocar uma expressão quadrática \(ax^2 + bx + c\) na forma do quadrado de uma expressão simples, mais possivelmente uma constante. O procedimento é simples e consiste em várias etapas.

Como você completa o quadrado

Passo 1: Certifique-se de que a expressão passada seja quadrática, com um coeficiente diferente de zero multiplicando o termo \(x^2\). Se não for esse o caso, você não pode fazer este procedimento.

Passo 2: Agora que você tem um termo quadrático adequado \(ax^2 + bx + c\), você precisa fatorar \(a\) (o termo que multiplica \(x^2\)). Se \(a = 1\), então você deixa como está.

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]

Passo 3: Agora vamos precisar olhar para o termo que está dentro dos parênteses (ou o termo original se \(a = 1\)). Observe que para uma constante \(d\), temos que \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). Então, observamos que

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \]

Então, o termo \(2 \left(\frac{b}{2a}\right)x \) na expressão acima é muito semelhante ao \(d\) em \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). Então, de fato, podemos fazer

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a \left( \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \] \[ = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

Esse processo é chamado resolva completando o quadrado ou aperfeiçoando o quadrado .

Completando os exemplos quadrados

Considere a expressão: \(2x^2 + 2x + 1\). Primeiro, fatoramos 2:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)\]

Podemos memorizar a fórmula dada acima ou você pode seguir o procedimento de "forçar" o quadrado. Acredito que essa última seja a melhor opção, porque você pode esquecer a fórmula, mas não esquecerá o procedimento uma vez você aprende. Então, olhamos para o termo \(x\) e forçamos o 2 na frente dele. Então temos

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\]

Agora, observe o termo entre parênteses à esquerda de \(x\). Nós elevamos o termo ao quadrado e adicionamos e subtraímos: \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \), então essencialmente estamos adicionando 0, então a expressão não muda:

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\] \[ = \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \]

Então agora podemos identificar os três primeiros termos como um quadrado perfeito, então temos:

\[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \displaystyle 2 \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \]

Por que é chamado de por que é?

Você pode estar se perguntando por que o procedimento de completar o quadrado é chamado de completar o quadrado? Bem, eu mencionei isso no início, o que estamos tentando fazer é obter uma expressão quadrática e reescrevê-la como o "quadrado de algo", e isso é feito adicionando a constante certa para que literalmente "complete o quadrado". Adicionando (e subtraindo) essa constante, obtemos um quadrado perfeito, mais uma constante, que permite encontrar esse "quadrado de alguma coisa" que procurávamos

Resolvendo equações quadráticas completando o quadrado

Curiosamente, completar o quadrado é equivalente a resolver uma equação quadrática. De fato, se quisermos resolver

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

agora sabemos que podemos completar o quadrado para obter:

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

temos que resolver a equação quadrática é o mesmo que resolver

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0\]

Então

\[ \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \] \[ \Rightarrow a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c\] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Então como você pode usar, se você completar o quadrado para resolver uma equação quadrática é exatamente o mesmo que usar a fórmula quadrática tradicional.

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