O círculo unitário
O círculo unitário é um dos objetos mais reconhecíveis em matemática e é muito transversal a diversas disciplinas matemáticas, incluindo Álgebra, Cálculo, Geometria e Trigonometria.
Na verdade, o círculo unitário é um dos “laboratórios” mais utilizados para a compreensão de muitos conceitos matemáticos. O círculo unitário cruza Álgebra (com equação do círculo), Cálculo (com inclinações, retas tangentes e áreas), Geometria (com ângulos, triângulos e Teorema de Pitágoras) e Trigonometria (seno, cosseno, tangente) em um só lugar.
O que é um círculo unitário?
O nome diz isso claramente: O círculo unitário é um círculo de raio \(r=1\), que por conveniência é assumido como centrado na origem \((0, 0)\). Observe que estamos falando do caso bidimensional.
Ângulos e o círculo unitário
O círculo unitário, ou círculo de qualquer raio, é uma forma muito prática de trabalhar com ângulos. Lembremos que a medida de um ângulo é proporcional à medida da circunferência do círculo que o ângulo abrange.
Por exemplo, se um ângulo abrange um quarto da circunferência e sua origem é igual ao centro do círculo, então a medida do ângulo é um quarto da medida de um ângulo completo, que é 360/4 = 90 o se medido em graus, ou \(2\pi/4 = \pi/2\) se medido em radianos
.Existem outras circunstâncias em que a origem do ângulo não coincide com o centro do círculo, como no caso do gráfico abaixo:
Funções trigonométricas e o círculo unitário
Usar o círculo unitário é muito útil para trabalhar com funções trigonométricas. Na verdade, acontece que se tivermos um ponto \((x,y)\) em um círculo com raio \(r\), então temos que
\[\large \sin \alpha = \frac{y}{r}\] \[\large \cos \alpha = \frac{x}{r}\] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]onde \(\alpha\) é o ângulo mostrado na figura abaixo:
Mas quando \(r = 1\), isto é, quando o raio é 1 (que é o caso do círculo unitário), descobrimos que
\[\large \sin \alpha = y \] \[\large \cos \alpha = x \] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]
Portanto, a operação com funções trigonométricas fica muito mais fácil quando o raio de um círculo é 1, e aí tudo fica muito mais visual. E podemos usar regras mnemônicas como “o seno de um ângulo é o lado oposto” e “o cosseno de um ângulo é o lado adjacente”.
A equação do círculo unitário
Então, a grande questão é: qual é a fórmula do círculo unitário? Para um círculo unitário centrado na origem, a equação que qualquer ponto \((x, y)\) nele satisfaz é:
\[\large x^2 + y^2 = 1\]Qualquer par \((x, y)\) que pertença a um círculo de raio 1 deve satisfazer o acima. Se o ponto \((x, y)\) não satisfizer o acima exposto, então ele não pertence ao círculo.
Qual é a fórmula do círculo unitário em geral?
A fórmula acima é apenas o caso mais simples de círculo unitário centrado na origem. Quando você deseja calcular a fórmula do círculo em geral, para um círculo unitário centrado em \((x_0, y_0)\), precisamos usar a seguinte fórmula:
\[\large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 1\]Para este caso mais geral, você pode usar este calculadora de equações circulares , que mostra todas as etapas para chegar à fórmula do círculo a partir de uma equação quadrática adequada.
Como você memoriza o círculo unitário rapidamente?
Embora não seja estritamente necessário, pode ser útil memorizar ângulos notáveis do círculo unitário. Com a facilidade de acesso das calculadoras científicas, parece um exercício um pouco desnecessário, mas definitivamente ajuda na sua compreensão do círculo unitário ao fazê-lo.
Naturalmente, você não será capaz de aprender TODOS os ângulos notáveis (ou talvez possa), mas pelo menos é uma boa ideia conhecer os múltiplos mais notáveis de \(\pi\), como \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), etc.
Por que é chamado de círculo unitário?
A resposta para isso é simples: é chamado de círculo unitário porque, em primeiro lugar, é um círculo e, em segundo lugar, tem um raio igual a 1. Portanto, o unidade ou unitário parte vem do fato de que o raio é 1.
Em Álgebra, Cálculo e Geometria Analítica há a necessidade de utilizar a qualificação “unidade”, pois nem todos os círculos tratados são na verdade círculos unitários. Porém, na trigonometria, quando você menciona um círculo, geralmente está falando, por padrão, sobre o círculo unitário, a menos que seja explicitamente especificado.
O círculo unitário é infinito?
Existem várias maneiras de responder a essa pergunta e a resposta varia. No sentido de área, o círculo unitário não é infinito, pois possui área igual a \(\p\).
Agora, pode-se argumentar que o círculo unitário é formado por um número infinito de pontos, o que é verdade, e isso implicaria que é “infinito” em certo sentido.
Então a resposta realmente depende do que você define como “infinito”.
EXEMPLO 1
O ponto \(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) pertence ao círculo unitário?
Resposta:
Precisamos verificar se o ponto satisfaz a equação definida acima. Nós temos:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \]Portanto, neste caso, o ponto \( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) pertence ao círculo unitário
Exemplo 2
O ponto \(\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) pertence ao círculo unitário?
Resposta:
Precisamos verificar se o ponto satisfaz ou não a equação definida acima. Nós temos:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{25}{36} \]Portanto, neste caso, o ponto \( \displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) NÃO pertence ao círculo unitário
Mais sobre o círculo unitário
Uma das perguntas que sempre recebo é se a equação do círculo unitário descreve ou não uma função. A resposta é não. Na verdade, a equação do círculo unitário define uma relação.
Existem pelo menos duas maneiras de saber. O preferido dos alunos é o “teste da linha vertical”. Temos o seguinte gráfico:
Veja no gráfico acima, e podemos ver que temos essa reta vertical que cruza o gráfico em mais de um ponto. A conclusão é que o gráfico representa uma relação, não uma função.
Agora, se você quer saber o que acontece quando o raio não é 1, e o círculo não está centrado na origem, confira nosso tutorial sobre o geral equação do círculo , em que o caso geral é tratado.
Como você converte um círculo unitário?
Um círculo unitário pode ser convertido alterando seu centro e alterando seu raio. É claro que ao fazer isso você chega a algo que não é um círculo unitário, mas um círculo geral em vez de.
Essas mudanças no centro e no raio podem ser vistas geométricas como uma translação e como um alongamento, respectivamente.
A função unitária e as funções trigonométricas
O círculo unitário está intimamente ligado a todas as funções trigonométricas. O seno e o cosseno são representados diretamente pelos lados dos triângulos com vértices no círculo. Além disso, a medida dos ângulos em radianos faz uma associação clara com o ângulo e o comprimento do arco gerado.
Radianos são as medidas naturais de ângulos para círculos, embora algumas pessoas tendam a se sentir mais confortáveis usando graus. Usa isto conversão de radianos para graus para fazer as conversões desejadas se você se sentir mais confortável com graus em vez de radianos