Risolutori Calcolo

Calcolatore della derivata seconda

Istruzioni: Usa il calcolatore della seconda derivata per calcolare la seconda derivata (questa è la derivata della derivata) di qualsiasi funzione differenziabile che fornisci, mostrando tutti i passaggi. Si prega di digitare la funzione nella casella del modulo sottostante.

Maggiori informazioni sulle derivate seconde

Questa calcolatrice può aiutarti a calcolare la derivata seconda di qualsiasi funzione valida che fornisci, mostrando tutti i passaggi del processo. Tutto quello che devi fare è fornire una funzione valida e differenziabile.

Una funzione valida potrebbe essere f(x) = x*tan(x), o f(x) = 3x^3 + 2x - 1, ecc. Potrebbe essere qualsiasi funzione valida, e non deve necessariamente venire semplificata, poiché la calcolatrice lo semplificherà, nel caso fosse necessario.

Una volta fornita una funzione valida, è possibile fare clic sul pulsante "Calcola", per ottenere tutti i calcoli e i passaggi mostrati.

Le derivate seconde sono estremamente pratiche in molte applicazioni, specialmente nel calcolo, con il test della derivata seconda per la massimizzazione e la minimizzazione, per valutare se un punto critico è un massimo, un minimo o nessuno.

Qual è la derivata seconda

In termini molto semplici, una derivata seconda è solo la derivata della derivata. Quindi il processo di calcolo di una derivata seconda comporta il calcolo di una derivata una volta, e poi un'altra volta, usando il comune Regole derivate . La derivata seconda di una funzione \(f(x)\) si scrive solitamente come \(f''(x)\).

Si applica anche l'idea della derivata seconda derivate parziali , e corrisponde alla derivata due volte, ma in questo caso può essere calcolata rispetto a variabili diverse.

Passi per il calcolo della derivata seconda

Fase 1: Identifica la funzione f(x) che vuoi differenziare due volte, e semplificare il più possibile prima
Passo 2: Differenziare una volta per ottenere la derivata f'(x). Semplifica la derivata ottenuta se necessario
Smusso 3: Differenziare ora f'(x), per ottenere la derivata seconda f''(x)

I passaggi sembrano essere facili, ma a seconda della funzione data, la quantità di calcoli algebrici potrebbe essere grande.

Derivata seconda notazione

La notazione più comune per la derivata seconda è \(f''(x)\), che riflette bene il fatto che l'operazione di derivata, indicata con ', viene applicata due volte alla funzione.

C'è un'altra notazione per la derivata seconda, che è particolarmente utile quando la funzione \(f(x)\) è indicata come 'y = y(x)'. Quindi, usiamo la seguente notazione per la derivata seconda.

\[\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2} = \displaystyle \frac{d}{dx} \left(\frac{dy}{dx}\right) \]

Passi per il calcolo delle derivate seconde per funzioni implicite

Fase 1: Identifica l'equazione che coinvolge x e y
Passo 2: Differenziare entrambi i lati dell'uguaglianza. Ciascun lato potrebbe potenzialmente dipendere da x, y e y'. Semplifica i termini ovvi, ma non è strettamente necessario
Smusso 3: Differenziare nuovamente entrambi i lati dell'uguaglianza. Ciascun lato potrebbe potenzialmente dipendere da x, y, y' e y''. Quindi, risolvi per te

Di solito è molto più facile calcolare la derivata seconda per differenziazione implicita piuttosto che risolvendo y in termini di x prima e poi differenziando, nel caso in cui x e y siano definiti implicitamente da un'equazione, come \(x^2 + y^2 = 1\).

Derivata seconda in un punto

Come la derivata, la derivata seconda è una funzione definita punto per punto. Si noti che un errore comune commesso dagli studenti è pensare, poiché voglio differenziare in un punto e la funzione valutata in un punto è costante, la sua derivata deve essere costante. SBAGLIATO. Prima tu Calcola la derivata , e POI valuti.

Esempio: calcolo della derivata seconda

Calcola la derivata seconda di : \(f(x) = \cos(x^2)\)

Soluzione: In questo esempio, calcoleremo la derivata seconda della funzione \(\displaystyle f(x)=\cos\left(x^2\right)\).

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x^2\right)\right)\)

By using the Chain Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

We use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(2x\right) \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

which then leads to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\cdot \left(-\sin\left(x^2\right)\right)\)

Finally, the following is obtained

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2x\sin\left(x^2\right)\)

Seconda Derivata: Ora, differenziamo la derivata ottenuta in modo da ottenere la derivata seconda:

\( \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-2x\sin\left(x^2\right)\right)\)

By using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)\times 2x\sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(-2x\right) \cdot \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( (-1)\times 2x \right) = \left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(2x\right)\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x^2\right)\right)\)

Using the Chain Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x^2\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)\) and directly we get: \(\frac{d}{dx}\left( 2x \right) = 2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot \frac{d}{dx}\left(x^2\right)\cdot \cos\left(x^2\right)\)

In this case we use the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{d}{dx}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\left(-1 \right) \cdot 2\right) \sin\left(x^2\right)+\left(-1\right)\times 2x \cdot 2x\cdot \cos\left(x^2\right)\)

and then we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)+\left(-2\right)\sin\left(x^2\right)\)

Putting together the numerical values, reducing the ones in \(-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right) = -4x^2\cos\left(x^2\right)\) and grouping the terms with \(x\) in the term \(-2x\cdot 2x\cos\left(x^2\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -2\cdot 2x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\)

Simplifying the integers that can be multiplied together: \(\displaystyle -2\times2 = -4\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\)

Conclusione Finale : Troviamo che la derivata seconda che stiamo cercando è:

\[f''(x) = -4x^2\cos\left(x^2\right)-2\sin\left(x^2\right)\]

Esempio: più derivate seconde

Per la seguente funzione: \(f(x) = x \cos(x)\), calcola la sua derivata seconda

Soluzione: Ora, facciamo lo stesso in tis \(\displaystyle f(x)=x\cos\left(x\right)\), per il quale dobbiamo calcolare la sua derivata.

La funzione è già stata semplificata, quindi possiamo procedere direttamente al calcolo della sua derivata:

\( \displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\cos\left(x\right)\right)\)

Using the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( x\cos\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \cdot \frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(x\right) \cdot \cos\left(x\right)+x \left(-\sin\left(x\right)\right)\)

which then leads to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle x\cdot \left(-\sin\left(x\right)\right)+\cos\left(x\right)\)

By reorganizing/simplifying/expanding the terms that are amenable to

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\)

Calcolo Della Seconda Derivata: Il passaggio successivo consiste nel differenziare la derivata ottenuta nei passaggi precedenti:

\( \displaystyle \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(-x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)\)

By linearity, we know \(\frac{d}{dx}\left( (-1)x\sin(x)+\cos(x) \right) = \frac{d}{dx}\left((-1)x\sin(x)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos(x)\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\sin\left(x\right)\right)+\frac{d}{dx}\left(\cos\left(x\right)\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \cos\left(x\right) \right) = -\sin\left(x\right)\) and we can use the Product Rule: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x\sin\left(x\right) \right) = \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(\left(-1\right)x\right) \cdot \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \frac{d}{dx}\left(\sin\left(x\right)\right)-\sin\left(x\right)\)

Directly differentiating: \(\frac{d}{dx}\left( \sin\left(x\right) \right) = \cos\left(x\right)\) and directly we get: \(\frac{d}{dx}\left( \left(-1\right)x \right) = -1\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right) \sin\left(x\right)+\left(-1\right)x \cdot \cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)\)

and then we get

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)+\left(-1\right)\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)\)

Reducing the multiplication by ones in \(\left(-1\right)x\cos\left(x\right) = \left(-1\right)x\cos\left(x\right)\) and

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(-1\right)x\cos\left(x\right)-\sin\left(x\right)+\left(-\sin\left(x\right)\right)\)

Simplifying:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\)

Seconda Conclusione Derivata : Concludiamo che la derivata seconda della funzione data è:

\[f''(x) = -x\cos\left(x\right)-2\sin\left(x\right)\]

Esempio: derivata seconda e differenziazione implicita

Utilizzando la differenziazione implicita, calcola la derivata seconda di y rispetto a x, per \( x^2 + y^2 = 1\).

Soluzione: Applichiamo la differenziazione implicita, supponendo che y dipenda da x, e differenziamo entrambi i lati dell'uguaglianza:

\[ \frac{d}{dx}\left(x^2 + y^2\right) = \frac{d}{dx} (1) \] \[ \Rightarrow 2x + 2yy' = 0 \]

Ora, applicando nuovamente la differenziazione implicita:

\[ \frac{d}{dx}\left( 2x + 2yy' \right) = \frac{d}{dx} 0 \] \[ \Rightarrow 2 + 2y'^2+2yy'' = 0 \] \[ \Rightarrow 2y'^2 + 2yy'' = -2\] \[ \Rightarrow yy'' = -1 - y'^2 \] \[ \Rightarrow y'' = \frac{-1 - y'^2}{y} \]

che conclude il calcolo.

Più calcolatori derivati

Quando trovare la derivata di una funzione, è naturale pensare di rifare il processo, che è trovare la derivata della derivata, ed è proprio questo che questo calcolatore della derivata seconda fa.

Il concetto di derivata seconda è piuttosto utile in Calcolo, specialmente al momento delle funzioni di massimizzazione o minimizzazione. La derivata seconda ti dà informazioni sulla concavità di una funzione, che è anche cruciale al momento per capire la forma della grafico della funzione .

Le derivate seconde possono essere calcolate sia per derivate regolari che per Differenziazione implicita , in cui si calcola la regola di differenziazione implicita due volte.