Maggiori informazioni sulle derivate seconde
Questa calcolatrice può aiutarti a calcolare la derivata seconda di qualsiasi funzione valida che fornisci, mostrando tutti i passaggi del processo. Tutto quello che devi fare è fornire una funzione valida e differenziabile.
Una funzione valida potrebbe essere f(x) = x*tan(x), o f(x) = 3x^3 + 2x - 1, ecc. Potrebbe essere qualsiasi funzione valida, e non deve necessariamente venire semplificata, poiché la calcolatrice lo semplificherà, nel caso fosse necessario.
Una volta fornita una funzione valida, è possibile fare clic sul pulsante "Calcola", per ottenere tutti i calcoli e i passaggi mostrati.
Le derivate seconde sono estremamente pratiche in molte applicazioni, specialmente nel calcolo, con il test della derivata seconda per la massimizzazione e la minimizzazione, per valutare se un punto critico è un massimo, un minimo o nessuno.
Qual è la derivata seconda
In termini molto semplici, una derivata seconda è solo la derivata della derivata. Quindi il processo di calcolo di una derivata seconda comporta il calcolo di una derivata una volta, e poi un'altra volta, usando il comune
Regole derivate
. La derivata seconda di una funzione f(x) si scrive solitamente come f′′(x).
Si applica anche l'idea della derivata seconda
derivate parziali
, e corrisponde alla derivata due volte, ma in questo caso può essere calcolata rispetto a variabili diverse.
Passi per il calcolo della derivata seconda
-
Fase 1:
Identifica la funzione f(x) che vuoi differenziare due volte, e
semplificare
il più possibile prima
-
Passo 2:
Differenziare una volta per ottenere la derivata f'(x). Semplifica la derivata ottenuta se necessario
-
Smusso 3:
Differenziare ora f'(x), per ottenere la derivata seconda f''(x)
I passaggi sembrano essere facili, ma a seconda della funzione data, la quantità di
calcoli algebrici
potrebbe essere grande.
Derivata seconda notazione
La notazione più comune per la derivata seconda è f′′(x), che riflette bene il fatto che l'operazione di derivata, indicata con ', viene applicata due volte alla funzione.
C'è un'altra notazione per la derivata seconda, che è particolarmente utile quando la funzione f(x) è indicata come 'y = y(x)'. Quindi, usiamo la seguente notazione per la derivata seconda.
dx2d2y=dxd(dxdy)
Passi per il calcolo delle derivate seconde per funzioni implicite
-
Fase 1:
Identifica l'equazione che coinvolge x e y
-
Passo 2:
Differenziare entrambi i lati dell'uguaglianza. Ciascun lato potrebbe potenzialmente dipendere da x, y e y'. Semplifica i termini ovvi, ma non è strettamente necessario
-
Smusso 3:
Differenziare nuovamente entrambi i lati dell'uguaglianza. Ciascun lato potrebbe potenzialmente dipendere da x, y, y' e y''. Quindi, risolvi per te
Di solito è molto più facile calcolare la derivata seconda per differenziazione implicita piuttosto che risolvendo y in termini di x prima e poi differenziando, nel caso in cui x e y siano definiti implicitamente da un'equazione, come x2+y2=1.
Derivata seconda in un punto
Come la derivata, la derivata seconda è una funzione definita punto per punto. Si noti che un errore comune commesso dagli studenti è pensare, poiché voglio differenziare in un punto e la funzione valutata in un punto è costante, la sua derivata deve essere costante. SBAGLIATO. Prima tu
Calcola la derivata
, e POI valuti.
Esempio: calcolo della derivata seconda
Calcola la derivata seconda di : f(x)=cos(x2)
Soluzione:
In questo esempio, calcoleremo la derivata seconda della funzione f(x)=cos(x2).
dxd(cos(x2))
By using the Chain Rule:
dxd(cos(x2))=dxd(x2)⋅(−sin(x2))
dxd(x2)⋅(−sin(x2))
We use the Power Rule for polynomial terms:
dxd(x2)=2x
(2x)(−sin(x2))
2x⋅(−sin(x2))
Finally, the following is obtained
−2xsin(x2)
Seconda Derivata:
Ora, differenziamo la derivata ottenuta in modo da ottenere la derivata seconda:
dx2d2f=dxd(−2xsin(x2))
By using the Product Rule:
dxd((−1)×2xsin(x2))=dxd(−2x)⋅sin(x2)+(−1)×2x⋅dxd(sin(x2))
dxd(−2x)⋅sin(x2)+(−1)×2x⋅dxd(sin(x2))
By linearity, we know
dxd((−1)×2x)=(−1)⋅dxd(2x), so plugging that in:
((−1)⋅dxd(2x))sin(x2)+(−1)×2x⋅dxd(sin(x2))
Using the Chain Rule:
dxd(sin(x2))=dxd(x2)⋅cos(x2) and directly we get:
dxd(2x)=2
((−1)⋅2)sin(x2)+(−1)×2x⋅dxd(x2)⋅cos(x2)
In this case we use the Power Rule for polynomial terms:
dxd(x2)=2x
((−1)⋅2)sin(x2)+(−1)×2x⋅2x⋅cos(x2)
−2x⋅2xcos(x2)+(−2)sin(x2)
Putting together the numerical values, reducing the ones in
−2x⋅2xcos(x2)=−4x2cos(x2) and grouping the terms with
x in the term
−2x⋅2xcos(x2)
−2⋅2x2cos(x2)−2sin(x2)
Simplifying the integers that can be multiplied together:
−2×2=−4
−4x2cos(x2)−2sin(x2)
Conclusione Finale
: Troviamo che la derivata seconda che stiamo cercando è:
f′′(x)=−4x2cos(x2)−2sin(x2)
Esempio: più derivate seconde
Per la seguente funzione: f(x)=xcos(x), calcola la sua derivata seconda
Soluzione:
Ora, facciamo lo stesso in tis f(x)=xcos(x), per il quale dobbiamo calcolare la sua derivata.
La funzione è già stata semplificata, quindi possiamo procedere direttamente al calcolo della sua derivata:
dxd(xcos(x))
Using the Product Rule:
dxd(xcos(x))=dxd(x)⋅cos(x)+x⋅dxd(cos(x))
dxd(x)⋅cos(x)+x⋅dxd(cos(x))
Directly differentiating:
dxd(cos(x))=−sin(x)
dxd(x)⋅cos(x)+x(−sin(x))
x⋅(−sin(x))+cos(x)
By reorganizing/simplifying/expanding the terms that are amenable to
−xsin(x)+cos(x)
Calcolo Della Seconda Derivata:
Il passaggio successivo consiste nel differenziare la derivata ottenuta nei passaggi precedenti:
dx2d2f=dxd(−xsin(x)+cos(x))
By linearity, we know
dxd((−1)xsin(x)+cos(x))=dxd((−1)xsin(x))+dxd(cos(x)), so plugging that in:
dxd((−1)xsin(x))+dxd(cos(x))
Directly differentiating:
dxd(cos(x))=−sin(x) and we can use the Product Rule:
dxd((−1)xsin(x))=dxd((−1)x)⋅sin(x)+(−1)x⋅dxd(sin(x))
dxd((−1)x)⋅sin(x)+(−1)x⋅dxd(sin(x))−sin(x)
Directly differentiating:
dxd(sin(x))=cos(x) and directly we get:
dxd((−1)x)=−1
(−1)sin(x)+(−1)x⋅cos(x)−sin(x)
(−1)xcos(x)+(−1)sin(x)+(−sin(x))
Reducing the multiplication by ones in
(−1)xcos(x)=(−1)xcos(x) and
(−1)xcos(x)−sin(x)+(−sin(x))
−xcos(x)−2sin(x)
Seconda Conclusione Derivata
: Concludiamo che la derivata seconda della funzione data è:
f′′(x)=−xcos(x)−2sin(x)
Esempio: derivata seconda e differenziazione implicita
Utilizzando la differenziazione implicita, calcola la derivata seconda di y rispetto a x, per x2+y2=1.
Soluzione:
Applichiamo la differenziazione implicita, supponendo che y dipenda da x, e differenziamo entrambi i lati dell'uguaglianza:
dxd(x2+y2)=dxd(1)
⇒2x+2yy′=0
Ora, applicando nuovamente la differenziazione implicita:
dxd(2x+2yy′)=dxd0
⇒2+2y′2+2yy′′=0
⇒2y′2+2yy′′=−2
⇒yy′′=−1−y′2
⇒y′′=y−1−y′2
che conclude il calcolo.
Più calcolatori derivati
Quando
trovare la derivata
di una funzione, è naturale pensare di rifare il processo, che è trovare la derivata della derivata, ed è proprio questo che questo
calcolatore della derivata seconda
fa.
Il concetto di derivata seconda è piuttosto utile in Calcolo, specialmente al momento delle funzioni di massimizzazione o minimizzazione. La derivata seconda ti dà informazioni sulla concavità di una funzione, che è anche cruciale al momento per capire la forma della
grafico della funzione
.
Le derivate seconde possono essere calcolate sia per derivate regolari che per
Differenziazione implicita
, in cui si calcola la regola di differenziazione implicita due volte.