Risolutori Calcolo

Calcolatrice della derivata parziale

Istruzioni: Usa questo calcolatore di derivata parziale per trovare la derivata di una funzione di più di una variabile che fornisci rispetto a una variabile specifica, mostrando tutti i passaggi del processo. Digita la funzione di cui vuoi calcolare la derivata nella casella sottostante.

Informazioni sulla derivata parziale

Questo calcolatore ti consentirà di calcolare la derivata parziale di qualsiasi funzione differenziabile valida che fornisci, rispetto a una data variabile.

La funzione che fornisci deve avere una definizione di funzione, come f(x, y) = x^3 + y^2. Se scrivi qualcosa come xy+x^2, senza la definizione completa, si presume che sia fornita una funzione di due variabili x e y.

Dopo aver fornito una funzione differenziabile valida e una variabile valida, il passaggio successivo consiste nel fare clic sul pulsante "Calcola" per visualizzare tutti i passaggi del processo, con tutte le regole derivate utilizzate , dichiarato esplicitamente.

Derivati , e la loro naturale estensione a più variabili derivate parziali sono tra le materie di studio più importanti in matematica, punto. Questo perché si occupano di un tasso di cambiamento e flusso di molti modelli che compaiono frequentemente nelle applicazioni.

Cos'è una derivata parziale?

In termini semplici, una derivata parziale consiste nel condurre la stessa come una derivazione regolare rispetto a una variabile, assumendo che il resto delle variabili sia costante.

Se dovessimo definire formalmente una derivata parziale, semplifichiamolo e facciamolo per una funzione di due variabili, \(x\) e \(y\). La derivata parziale rispetto a \(x\) nel punto \((x_0, y_0)\) è

\[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0)}{h} \]

Quindi, come possiamo vedere, è essenzialmente uguale alla definizione della derivata regolare, solo che c'è un'altra variabile, ma rimane costante nel processo di calcolo.

Allo stesso modo, la derivata parziale rispetto a \(y\) nel punto \((x_0, y_0)\) è

\[\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + h) - f(x_0, y_0)}{h} \]

Il vettore di tutte le derivate parziali si chiama gradiente. Se hai bisogno di ottenere effettivamente tutte le derivate parziali, puoi usare questo calcolatore del gradiente .

Passi per il calcolo delle derivate parziali

Fase 1: Identifica la funzione di cui vuoi calcolare la derivata parziale. Assicurati di semplificarlo prima
Passo 2: Osserva che non tutte le funzioni sono differenziabili, quindi devi assicurarti che la funzione coinvolta sia effettivamente differenziabile
Smusso 3: Usa tutte le regole derivate appropriate per la funzione e differenzia la funzione come faresti normalmente rispetto alla variabile differenziabile e considera qualsiasi altra variabile come costante

In questo modo, quando facciamo la derivata parziale rispetto a x per qualcosa come 'x^2+y^2', nel processo di differenziazione parziale rispetto a x, la variabile y viene trattata come una costante. Quindi otterremmo

\[\frac{\partial (x^2+y^2)}{\partial x} = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 2x \]

e in questo caso \(\frac{\partial (y^2)}{\partial x} = 0\) perché y è assunta costante rispetto a x.

Perché usare un calcolatore di derivate parziali

Il calcolo delle derivate parziali può essere un esercizio relativamente semplice, ma non significa che sia necessariamente facile. È importante essere molto sistematici al momento dell'applicazione del corrispondente Regole derivate .

L'utilizzo di un calcolatore di derivate parziali con passaggi può aiutarti almeno a controllare il risultato ed essere in grado di vedere esattamente quali sono i passaggi corretti e quali regole di derivata devono essere utilizzate.

In particolare nei problemi complessi, con espressioni algebricamente complicate una calcolatrice può davvero tornare utile.

Quali sono le regole derivate per le derivate parziali?

Sono esattamente gli stessi di quelli per le derivate regolari. Per le derivate parziali abbiamo la linearità, la Regola Del Prodotto , il Regola Di Derivazione e il Regola Del Quoziente . In genere, finirai per utilizzare una combinazione di tutte queste regole, per gli esempi derivati più complessi.

Cos'è la differenziazione implicita

C'è una situazione in cui è coinvolta più di una variabile in cui non assumiamo, ad esempio, che y cambi con x, come facciamo nelle derivate parziali. In alcuni casi, quando c'è un'equazione che collega le variabili, assumiamo che ci sia una relazione implicita tra y e x, e scriviamo y = y(x).

Questo è il contesto di Differenziazione implicita , che è una specie di ibrido tra differenziazione parziale e differenziazione regolare.

E c'è davvero una cosa che non può essere sopravvalutata: le derivate parziali sono davvero uno dei principali strumenti utilizzati in Ingegneria, Fisica ed Economia.

Esempio: calcolo della derivata parziale

Calcolare la derivata parziale \(\frac{\partial f}{\partial y}\) per: \(f(x,y) = \sin(xy)\)

Soluzione:

che conclude il calcolo.

Esempio: differenziazione parziale

Calcolare la derivata parziale rispetto a \(x\) di: \(f(x, y) = x^2 + y^2\)

Soluzione: La funzione fornita è: \(\displaystyle f(x,y)=x^2+y^2\), per la quale occorre calcolare la sua derivata parziale rispetto alla variabile \(x\).

La funzione non necessita di ulteriori semplificazioni, quindi possiamo procedere direttamente al calcolo della sua derivata parziale:

\( \displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\)

The derivative of a constant with respect to \(x\) is 0, so then:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\)

Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle 2x\)

Example: another partial derivative example

Considera la funzione \(f(x, y) = \frac{xy}{x^2+y^2}\), trova le sue derivate parziali \(\frac{\partial f}{\partial x}\) e \(\frac{\partial f}{\partial y}\).

Soluzione: In questo caso, la funzione è: \(\displaystyle f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\), per la quale dobbiamo calcolare le sue derivate parziali.

La funzione è già stata semplificata, quindi possiamo procedere direttamente:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)

Directly applying Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

The linearity property indicates that \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial x}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

But we know that the derivative of a constant with respect to \(x\) is equal to 0, so then we get that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial x}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Applying the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( x^2 \right) = 2x\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial x}\left( xy \right) = y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot y-xy\left(2x\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

and consequently

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

We can put the integers together and then we can group the terms with \(x\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Simplifying: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{y\left(x^2+y^2\right)-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Observe the following: \(y \cdot (x^2+y^2) = yx^2+yy^2 = x^2y+y^3\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x^2y+y^3-2x^2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Hence, we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{-\left(x+y\right)\left(x-y\right)y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Ora, d'altra parte:

\( \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{xy}{x^2+y^2}\right)\)

Using the Quotient Rule: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( \frac{xy}{x^2+y^2} \right) = \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2+y^2\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

By linearity, we know \(\frac{\partial }{\partial y}\left( x^2+y^2 \right) = \frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\), so plugging that in:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Since the derivative of a constant with respect to \(y\) is 0, we find that:

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot \frac{\partial }{\partial y}\left(xy\right)-xy\left(\frac{\partial }{\partial y}\left(y^2\right)\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Using the Power Rule for polynomial terms: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( y^2 \right) = 2y\) and directly we get: \(\frac{\partial }{\partial y}\left( xy \right) = x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x^2+y^2\right) \cdot x-xy\left(2y\right)}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

and then we find

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-xy\cdot 2y}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Putting together the numerical values and grouping the terms with \(y\) in the term \(\left(-1\right)xy\cdot 2y\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)+2\cdot \left(-1\right)y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Reducing integers that can be multiplied: \(\displaystyle 2\times(-1) = -2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x\left(x^2+y^2\right)-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

We find that \((x) \cdot (x^2+y^2) = xx^2+xy^2 = x^3+xy^2\), due to the fact that we can use the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{x^3+xy^2-2y^2x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)x}{\left(x^2+y^2\right)^2}\)

Altri calcolatori di calcolo

Il concetto di Derivata è al centro del Calcolo, e l'uso di a calcolatore derivato può aiutarti molto in molte diverse applicazioni di calcolo, inclusa l'ottimizzazione, uno dei "pezzi grossi".

L'idea di derivata si estende naturalmente al caso di funzione a più variabili, dove a Calcolatrice della derivata parziale farà lo stesso di una derivata regolare, ma ora si presume che solo una variabile vari, mentre le altre variabili sono considerate fisse .

Spesso sai che \(y\) dipende da \(x\), ma non esplicitamente ma piuttosto implicitamente, per mezzo di un'equazione di collegamento, nel qual caso puoi usare Differenziazione implicita utilizzare le regole delle derivate per ottenere un'espressione per la quale è possibile risolvere la derivata \(\frac{d f}{d x}\) .