Factorisation quadratique
Instructions: Utilisez cette calculatrice de factorisation quadratique pour factoriser et exprimer une fonction quadratique comme un produit de deux monômes, en montrant toutes les étapes. Veuillez saisir la fonction quadratique que vous devez factoriser dans la zone de formulaire ci-dessous.
Factorisation d'équations quadratiques
Cette calculatrice vous permet de calculer la décomposition en facteurs d'une équation quadratique que vous fournissez. Vous devez fournir une fonction quadratique valide, par exemple 5/4 x^2 +3x +1, mais vous pouvez également fournir une fonction quadratique qui n'est pas entièrement simplifiée, comme 2x^2 + 2x + 1/3 + 1/5 + 1/4 x, par exemple, à condition que l'équation quadratique soit valide.
Naturellement, factorisation de fonctions quadratiques est étroitement liée à résolution d'équations quadratiques et nous verrons que les facteurs contiennent facilement les racines de l'équation quadratique.
En fait, trouver les racines d'une équation quadratique est généralement la façon la plus courante de factoriser une fonction quadratique. L'autre méthode consiste à utiliser la méthode du zéro rationnel.
Comment faire une factorisation quadratique ?
Il existe au moins deux approches systématiques pour factoriser les équations quadratiques. L'une des méthodes les plus courantes consiste à trouver d'abord les racines de l'équation quadratique :
- Étape 1 : Identifiez la fonction quadratique donnée, et simplifiez-la complètement si nécessaire
- Étape 2 : Assurez-vous que la fonction sous la forme f(x) = ax² + bx + c
- Étape 3 : Utilisez la formule quadratique : \(x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) pour trouver les racines \(x_1\) et \(x_2\)
- Étape 4 : La factorisation est Utilisez la formule quadratique : f(x) = ax² + bx + c = a(x - x₁)(x-x₂)
- Étape 5 : La méthode ci-dessus fonctionne que les racines soient réelles ou non
En d'autres termes, les racines des équations quadratiques apparaissent juste là, dans les termes monomiaux.
Comment faire la factorisation quadratique avec le zéro rationnel ?
Le zéro rationnel est un théorème qui nous permet de trouver une liste de candidats rationnels potentiels qui pourraient être des racines de l'équation quadratique, et donc, ils pourraient être utilisés pour factoriser l'équation.
Quelles sont les étapes du théorème du zéro rationnel ?
- Étape 1 : Identifiez la fonction quadratique donnée, et simplifiez-la complètement si nécessaire
- Étape 2 : Assurez-vous que la fonction sous la forme f(x) = ax² + bx + c
- Étape 3 : Trouvez les diviseurs entiers (positifs et négatifs) de c et de a. Ensuite, prenez chaque diviseur de c et divisez-le par chaque diviseur de a. Cela crée votre liste de candidats rationnels
- Étape 4 : Passez en revue chacun des éléments de la liste ci-dessus, et vérifiez s'ils sont des racines de l'équation quadratique donnée ou non
Cette méthode fonctionne dans la plupart des cas, mais uniquement lorsque l'adresse correspondante de l'utilisateur est la suivante Equation quadratique a des racines rationnelles.
Résoudre un quadratique en le factorisant
Comme nous l'avons vu ci-dessus, la résolution de quadratiques par factorisation est étroitement liée à la factorisation du quadratique, et en fait, ce sont des processus équivalents.
En effet, si l'on a réussi à factoriser une fonction quadratique, il suffit de regarder les termes monomiaux pour obtenir tout de suite les racines. .
Et inversement, si on a trouvé les racines, on sait que la factorisation est simplement a(x - x₁)(x-x₂).
Exemple : exemple de méthode de factorisation
Factoriser : \(f(x) = x^2 - 3x - 5\)
Solution:
On nous fournit l'expression quadratique suivante : \(\displaystyle x^2-3x-5\).
Dans ce cas, nous avons que l'équation que nous devons essayer de factoriser est \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :
\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]Maintenant, nous devons trouver les nombres entiers qui divisent \(a\) et \(c\), qui seront utilisés pour construire nos candidats facteurs.
Les diviseurs de \(a = 1\) sont : \(\pm 1\).
Les diviseurs de \(c = -5\) sont : \(\pm 1,\pm 5\).
Par conséquent, en divisant chaque diviseur de \(c = -5\) par chaque diviseur de \(a = 1\), nous trouvons la liste suivante de candidats aux facteurs :
\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 1}\]Maintenant, tous les candidats doivent être testés pour voir s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus en testant chaque candidat :
\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2-3 \left(-1\right)-5 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 1 \left(1\right)^2-3 \left(1\right)-5 & = & \displaystyle -7 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:& & \displaystyle 1 \left(-5\right)^2-3 \left(-5\right)-5 & = & \displaystyle 35 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:& & \displaystyle 1 \left(5\right)^2-3 \left(5\right)-5 & = & \displaystyle 5 \ne 0 \\\\ \end{array}\]Ainsi donc, aucun des candidats n'est une racine, et donc, cette méthode ne nous permet pas de trouver les facteurs.
Utilisation de la formule quadratique
Comme nous n'avons pas pu trouver les racines en utilisant les candidats rationnels potentiels, nous utilisons simplement la formule quadratique. On obtient ce qui suit :
Pour une équation quadratique de la forme \(a x^2 + bx + c = 0\), les racines sont calculées à l'aide de la formule suivante :
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]Dans ce cas, nous avons que l'équation que nous devons résoudre est \(\displaystyle x^2-3x-5 = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :
\[a = 1\] \[b = -3\] \[c = -5\]Tout d'abord, nous allons calculer le discriminant pour évaluer la nature des racines. Le discriminant est calculé comme suit :
Puisque dans ce cas nous obtenons le discriminant est \(\Delta = \displaystyle 29 > 0\), qui est positif, nous savons que l'équation a deux racines réelles différentes.
En introduisant ces valeurs dans la formule des racines, nous obtenons :
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\left(1\right)\left(-5\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}\]donc, nous trouvons que :
\[ x_1 = -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2} \] \[x_2 = \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\]Par conséquent, l'équation donnée \(\displaystyle x^2-3x-5=0\) a deux racines réelles différentes, qui sont \(x_1 = \displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\) et \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}\).
Par conséquent, étant donné qu'il existe deux racines réelles, la fonction quadratique donnée peut être factorisée comme suit
\[ \displaystyle x^2-3x-5 = \displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\]Exemple : factorisation d'expressions quadratiques
Calculer la factorisation de : \( 3x^2 - 2x + 15\). La factorisation est-elle réelle ?
Solution:
On nous fournit l'expression quadratique suivante : \(\displaystyle 3x^2-2x+15\).
Dans ce cas, nous avons que l'équation que nous devons essayer de factoriser est \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :
\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]Maintenant, nous devons trouver les nombres entiers qui divisent \(a\) et \(c\), qui seront utilisés pour construire nos candidats facteurs.
Les diviseurs de \(a = 3\) sont : \(\pm 1,\pm 3\).
Les diviseurs de \(c = 15\) sont : \(\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15\).
Par conséquent, en divisant chaque diviseur de \(c = 15\) par chaque diviseur de \(a = 3\), nous trouvons la liste suivante de candidats aux facteurs :
\[\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 3},\pm \frac{ 5}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 3},\pm \frac{ 15}{ 1},\pm \frac{ 15}{ 3}\]Maintenant, tous les candidats doivent être testés pour voir s'ils constituent une solution. Les résultats suivants sont obtenus en testant chaque candidat :
\[\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:& & \displaystyle 3 \left(-1\right)^2-2 \left(-1\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:& & \displaystyle 3 \left(1\right)^2-2 \left(1\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(-\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{44}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:& & \displaystyle 3 \left(-3\right)^2-2 \left(-3\right)+15 & = & \displaystyle 48 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:& & \displaystyle 3 \left(3\right)^2-2 \left(3\right)+15 & = & \displaystyle 36 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:& & \displaystyle 3 \left(-5\right)^2-2 \left(-5\right)+15 & = & \displaystyle 100 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:& & \displaystyle 3 \left(5\right)^2-2 \left(5\right)+15 & = & \displaystyle 80 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{5}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(-\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{80}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{5}{3} &:& & \displaystyle 3 \left(\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -15 &:& & \displaystyle 3 \left(-15\right)^2-2 \left(-15\right)+15 & = & \displaystyle 720 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 15 &:& & \displaystyle 3 \left(15\right)^2-2 \left(15\right)+15 & = & \displaystyle 660 \ne 0 \\\\ \end{array}\]Ainsi donc, aucun des candidats n'est une racine, et donc, cette méthode ne nous permet pas de trouver les facteurs.
Utilisation de la formule quadratique
Comme nous n'avons pas pu trouver les racines en utilisant les candidats rationnels potentiels, nous utilisons simplement la formule quadratique. On obtient ce qui suit :
Pour une équation quadratique de la forme \(a x^2 + bx + c = 0\), les racines sont calculées à l'aide de la formule suivante :
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]Dans ce cas, nous avons que l'équation que nous devons résoudre est \(\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :
\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 15\]Tout d'abord, nous allons calculer le discriminant pour évaluer la nature des racines. Le discriminant est calculé comme suit :
Puisque dans ce cas nous obtenons le discriminant est \(\Delta = \displaystyle -176 < 0\), qui est négatif, nous savons que l'équation donnée a deux racines complexes conjuguées différentes.
En introduisant ces valeurs dans la formule des racines, nous obtenons :
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(15\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-176}}{6}\]donc, nous trouvons que :
\[\displaystyle x_1 = \frac{2 - i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\] \[\displaystyle x_2 = \frac{2 + i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\]Par conséquent, l'équation donnée \(\displaystyle 3x^2-2x+15=0\) a deux racines complexes conjuguées différentes, qui sont \(x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\) et \(x_2 = \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\).
Par conséquent, étant donné qu'il y a deux racines complexes, la fonction quadratique donnée a la factorisation complexe suivante :
\[ \displaystyle 3x^2-2x+15 = \displaystyle 3 \left(x-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\left(x-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\]Exemple : comment résoudre des équations quadratiques
Résoudre l'équation quadratique suivante par factorisation : \( x^2 +3x +\frac{9}{4} = 0 \).
Solution:
On nous fournit l'expression quadratique suivante : \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}\).
Dans ce cas, nous avons que l'équation que nous devons essayer de factoriser est \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :
\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]Maintenant, nous devons trouver les nombres entiers qui divisent \(a\) et \(c\), qui seront utilisés pour construire nos candidats facteurs.
Les diviseurs de \(a = 1\) sont : \(\pm 1\).
Le coefficient \(c = \frac{9}{4}\) n'a pas de diviseurs entiers.
Par conséquent, nous ne pouvons pas utiliser cette méthode pour trouver des facteurs.
Utilisation de la formule quadratique
Comme nous n'avons pas pu trouver les racines en utilisant les candidats rationnels potentiels, nous utilisons simplement la formule quadratique. On obtient ce qui suit :
Pour une équation quadratique de la forme \(a x^2 + bx + c = 0\), les racines sont calculées à l'aide de la formule suivante :
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]Dans ce cas, nous avons que l'équation que nous devons résoudre est \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0\), ce qui implique que les coefficients correspondants sont :
\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = \frac{9}{4}\]Tout d'abord, nous allons calculer le discriminant pour évaluer la nature des racines. Le discriminant est calculé comme suit :
Puisque dans ce cas on obtient le discriminant est \(\Delta = \displaystyle 0 = 0\), qui est nul, on sait que l'équation n'a qu'une seule racine réelle.
En introduisant ces valeurs dans la formule des racines, nous obtenons :
\[x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{\left(3\right)^2-4\left(1\right)\left(\frac{9}{4}\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2}\]donc, nous trouvons que :
\[x = -\frac{3}{2}\]Par conséquent, l'équation donnée \(\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}=0\) n'a qu'une seule racine réelle, qui est \(x = \displaystyle -\frac{3}{2}\).
Par conséquent, étant donné qu'il n'y a qu'une seule racine réelle, la fonction quadratique donnée peut être factorisée comme suit
\[ \displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = \displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2\]Plus de calculatrices quadratiques
L'importance de expressions quadratiques ne peut pas être surestimé. résolution d'équations quadratiques sera l'un de vos outils les plus puissants lorsque vous travaillerez en algèbre dans toutes sortes d'applications. .
La graphique de la fonction quadratique a la forme d'une parabole, qui a toutes sortes de symétries remarquables, avec une vertex qui représente un point notable de la parabole qui le "supporte", et une orientation qui est définie par le fait qu'il s'ouvre vers le haut ou vers le bas.
