Calculatrice de complétion du carré

Quelle est la signification de "compléter le carré" ? Eh bien, l'idée est d'avoir le carré de quelque chose. Chaque fois que vous avez une expression quadratique de la forme \(ax^2 + bx + c\), vous voudriez l'avoir comme "carré de quelque chose".

En analysant l'expression, le seul carré que l'on voit est la partie \(a x^2\), qui contient le carré de \(x\), mais ensuite on a d'autres choses à part le carré. Mathématiquement, il est toujours possible de mettre une expression quadratique de la forme \(ax^2 + bx + c\) comme le "carré de quelque chose", mais potentiellement nous aurions besoin d'ajouter une constante.

Parfois, si cette constante est nulle, on obtient ce qu'on appelle une carré parfait .

Comment compléter le carré ? Compléter les carrés, ou perfectionner le carré comme on l'appelle aussi, est simplement le processus consistant à mettre une expression quadratique \(ax^2 + bx + c\) sous la forme du carré d'une expression simple, plus éventuellement une constante. La procédure est simple, et elle se compose de différentes étapes.

Comment compléter le carré

Étape 1: Assurez-vous que l'expression passée est quadratique, avec un coefficient non nul multipliant le terme \(x^2\). Si ce n'est pas le cas, vous ne pouvez pas effectuer cette procédure.

Étape 2: Maintenant que vous avez un terme quadratique correct \(ax^2 + bx + c\), vous devez factoriser \(a\) (le terme qui multiplie \(x^2\)). Si \(a = 1\), alors vous le laissez tel quel.

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) \]

Étape 3: Maintenant, nous allons devoir regarder le terme qui se trouve à l'intérieur des parenthèses (ou le terme initial si \(a = 1\)). Observez que pour une constante \(d\), nous avons que \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). Donc, nous observons que

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \]

Ainsi donc, le terme \(2 \left(\frac{b}{2a}\right)x \) dans l'expression ci-dessus est terriblement similaire au \(d\) dans \((x+d)^2 = x^2 + 2dx + d^2\). Donc, en effet, nous pouvons faire

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}\right) = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a\left(x^2 + 2 \left(\frac{b}{2a}\right)x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a}\right) \] \[ = \displaystyle a \left( \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \] \[ = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

Ce processus est appelé résoudre en complétant le carré ou perfectionner le carré .

Exemples de complétion du carré

Considérez l'expression : \(2x^2 + 2x + 1\). D'abord, nous factorisons 2 :

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)\]

On peut soit mémoriser la formule donnée ci-dessus, soit suivre la procédure de "forçage" du carré. Je pense que cette dernière option est la meilleure, car vous pouvez certainement oublier la formule, mais vous n'oublierez pas la procédure une fois que vous l'aurez apprise. Donc, nous regardons le terme \(x\) et nous forçons le 2 devant lui. Nous obtenons donc

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\]

Maintenant, regardez le terme dans la parenthèse à gauche de \(x\). Nous quadrillons le terme et l'ajoutons et le soustrayons : \(\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 \), donc essentiellement nous ajoutons 0, donc l'expression ne change pas :

\[ 2x^2 + 2x + 1 = \displaystyle 2\left(x^2 + x + \frac{1}{2}\right)= \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \frac{1}{2}\right)\] \[ = \displaystyle 2\left(x^2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)x + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \]

On peut maintenant identifier les trois premiers termes comme un carré parfait, ce qui donne.. :

\[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\right) \] \[ = \displaystyle 2\left( \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{4} \right) \] \[ = \displaystyle 2 \left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} \]

Pourquoi l'appelle-t-on ainsi ?

Vous vous demandez peut-être pourquoi la procédure de complémentation du carré est appelée complémentation du carré ? Eh bien, je l'ai mentionné au début, ce que nous essayons de faire est d'obtenir une expression quadratique et de la réécrire comme le "carré de quelque chose", et cela se fait en ajoutant la bonne constante de sorte que nous "complétions littéralement le carré". En ajoutant (et en soustrayant) cette constante, nous obtenons un carré parfait, plus une constante, ce qui permet de trouver ce "carré de quelque chose" que nous recherchions

Résoudre des équations quadratiques en complétant le carré

Il est intéressant de noter que le fait de compléter le carré est équivalent à la résolution d'une équation quadratique. En effet, si nous voulons résoudre

\[ ax^2 + bx + c = 0 \]

nous savons maintenant que nous pouvons compléter le carré pour obtenir :

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c \]

nous obtenons que résoudre l'équation quadratique est la même chose que résoudre

\[ ax^2 + bx + c = \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0\]

alors

\[ \displaystyle a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2}{4a} + c = 0 \] \[ \Rightarrow a \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2}{4a} - c\] \[ \Rightarrow \left(x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}\] \[ \Rightarrow x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2} } \] \[ \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

Donc, comme vous pouvez l'utiliser, si vous complétez le carré pour résoudre une équation quadratique, c'est exactement la même chose que d'utiliser la formule quadratique traditionnelle.

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