Factorisation des trinômes

Cette calculatrice vous permet de factoriser les trinômes de la forme \(ax^2+bx+c\). Notez qu'il s'agit d'un type de trinôme très spécifique qui correspond essentiellement à une expression quadratique.

Une fois que vous avez fourni un trinôme valide, vous devez cliquer sur , il vous suffit de cliquer sur le bouton "Calculer", et vous obtiendrez toutes les étapes des calculs.

Le problème de la factorisation des trinômes est un problème relativement simple, qui repose en fin de compte sur notre capacité de résolution d'équations quadratiques du moins pour le type de trinômes dont il est question.

Qu'est-ce qu'un trinôme ?

Un trinôme, comme l'indique la partie "tri", est une expression algébrique à trois termes. Techniquement, quelque chose comme \(a+b+c\) est un trinôme, tout comme \(a\cdot b\cdot \ c\). Mais il s'agit généralement d'un trinôme additif, et ce dernier n'entre donc pas dans cette catégorie.

De plus, nous entendons implicitement qu'un trinôme a des termes polynomiaux de la forme \(d x^k\). La dernière hypothèse que nous ferons est que la puissance la plus élevée est supérieure à deux, nous pouvons factoriser un terme de sorte que la puissance la plus élevée soit 2 (ceci est toujours possible avec des puissances séquentielles).

Alors, les triominaux dont nous nous occupons se réduisent simplement à la classe des expressions de la forme

\[ a x^2 + bx^2 + c \]

Quelles sont les étapes de la factorisation des trinômes ?

• Étape 1 : Identifiez le trinôme et assurez-vous qu'il remplit les conditions requises pour être un trinôme au sens de la définition ci-dessus
• Étape 2 : En supposant que le degré le plus élevé est 2, le terme est de la forme \(a x^2 + bx^2 + c \), identifiez donc les coefficients a, b et c
• Étape 3 : Résolvez l'équation quadratique \\(a x^2 + bx^2 + c = 0\\). Supposons que \(\alpha\) et \(\beta\) soient les racines, alors la factorisation du trinôme est \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)
• Étape 4 : Si le degré le plus élevé est supérieur à 2, calculez la puissance la plus élevée possible et revenez à l'étape 2

En fin de compte, la solution à la factorisation d'un trinôme dépend de votre capacité à conditions d'affacturage et résoudre des équations quadratiques .

Peut-on avoir un facteur commun à des trinômes ?

D'après notre définition des trinômes que nous voulons accepter pour cette procédure, techniquement oui, nous pouvons avoir un facteur commun, qui peut être éliminé par factorisation. En effet, dans cette calculatrice, le trinôme est supposé être de la forme \(a x^2 + bx + c\), qui n'a pas de facteurs communs en général.

Mais alors, vous pouvez soutenir que \(a x^4 + bx^3 + cx^2\) est un trinôme qui a des facteurs communs, et vous auriez raison de le dire.

Ce qui se passe, c'est que si nous pouvons factoriser un facteur commun comme \(a x^4 + bx^3 + cx^2 = x^2 (a x^2 + bx + c) \), nous obtenons en fin de compte le type de trinôme le plus élémentaire que nous utilisons ici.

La factorisation trinomiale et la factorisation polynomiale sont-elles identiques ?

Plus précisément, nous pouvons dire que nous obtenons un trinôme et que nous le factorisons factorisation polynomiale d'un polynôme quadratique (après avoir factorisé un terme si nécessaire).

L'idée de parler de trinômes plutôt que de polynômes est de mettre l'accent sur la structure spécifique de l'expression que nous traitons, dans laquelle nous avons 3 termes, contrairement à un polynôme général qui peut avoir plus de 3 termes.

Pourquoi utiliser cette calculatrice et non ma calculatrice scientifique ?

L'une des principales raisons est que cette calculatrice factorielle avec étapes vous montrera le travail pertinent qui doit être fait pour arriver aux solutions, ce qui signifie que vous verrez la justification de la raison pour laquelle vous avez obtenu le résultat trouvé.

Dans la section suivante, vous verrez des exemples de factorisation de trinômes avec les réponses, l'un d'entre eux utilisant la formule de l'équation quadratique, et un autre utilisant une petite astuce pour factoriser par regroupement.

Exemple de factorisation trinomiale

Factoriser les éléments suivants : \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4\)

Solution : Remarquez que nous pouvons factoriser \(x^2\), donc

\[[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right)\]

et la partie quadratique peut être facilement factorisée comme \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\), ce qui conduit à :

\[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right) = x^2 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\)\]

qui conclut le calcul.

Exemple : facteur trinôme

Trouvez la factorisation du trinôme suivant \( x^2 + 2x + 3 \).

Solution : Dans cet exemple, nous montrons que la formule de l'équation quadratique n'est pas tout et qu'il est parfois possible de prendre des raccourcis, en fonction de la structure de l'équation. Nous pouvons utiliser facteur par regroupement dans cet exemple. Il est à noter que

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 \]

et en regroupant les deux premiers termes et les deux derniers termes, nous obtenons :

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) \]

mais ce dernier terme peut factoriser x + 3, ce qui nous permet d'obtenir :

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) = (x-1)(x+3)\]

qui conclut le calcul.

Autres calculatrices quadratiques utiles

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fonctions quadratiques ont des structures spécifiques qui permettent de trouver très facilement leurs racines et d'obtenir des propriétés géométriques intéressantes, comme le sommet de la parabole . En outre, le formule quadratique pour trouver les racines de l'équation quadratique est l'une des équations les plus emblématiques et les plus connues de toute l'algèbre