Cómo factorizar


Aprender a factorizar es una de las habilidades más importantes que puede aprender. El factoraje tiene tantas aplicaciones, que estará encantado de tomarse el tiempo para aprender todo lo que hay al respecto.

La factorización es normalmente algo que damos por sentado y se basa en diferentes propiedades, como la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva. Esas propiedades le permiten moverse y agrupar términos de una manera conveniente.

Un repaso rápido sobre la propiedad conmutativa, asociativa y distributiva. Para los números reales \(x\), \(y\) y \(z\), tenemos las siguientes propiedades

(Asociatividad de la suma) \((x+y)+z = x+(y+z)\)

Conmutatividad de la suma) \( x + y = y + x\)

(Propiedad distributiva) \( x \cdot (y+z) = x \cdot y + x \cdot z\)

donde \(+\) y \(\cdot\) son la suma y el producto de números reales, respectivamente.


¿Por qué es útil saber factorizar?

Hay muchas razones, pero una de las cruciales es que la factorización nos brinda una manera fácil de resolver ecuaciones. De hecho, factorizar es LA forma en que tenemos que resolver ecuaciones.

Por ejemplo, considere la ecuación en la que estamos tratando de resolver para \(x\):

\[\large xy +xz = 0\]

¿Cómo lo hacemos? Bueno, podemos usar la propiedad distributiva para obtener:

\[\large x y + x z = x(y+z) = 0\]

Por tanto, con esta última expresión \( x(y+z) = 0\) tenemos un ejemplo de factorización. De hecho, tomamos la expresión inicial, \(xy+xz\) y la factorizamos en \( x(y+z)\).

Entonces, ahora necesitamos resolver una ecuación más fácil, que es \( x(y+z) = 0\). ¿Por qué es más fácil? Es porque ahora que sabemos que el producto \( x(y+z)\) es igual a cero, entonces uno de los factores NECESITA ser igual a cero.

Entonces, si sabemos que \(y+z = \not 0\), entonces sabemos que necesitamos tener ese \(x = 0\).

LECCIÓN : Una ventaja de la factorización es poder escribir una ecuación como una multiplicación de factores que es igual a cero. Entonces, AL MENOS UNO DE LOS FACTORES DEBE SER CERO.

Por ejemplo, cuando necesitamos resolver para \(x\) en la siguiente ecuación:

\[\large 5x + 3x = 0\]

no nos damos cuenta de que en realidad estamos factorizando cuando lo hacemos

\[\large 5x + 3x = (5+3)x = 8x = 0\]

así que hemos reducido nuestra ecuación a un producto de factores que es igual a cero: \(8x = 0\). Dado que uno de los factores \(8\) no es igual a cero, entonces la única solución posible es \(x = 0\).

En otras palabras : si sabe factorizar, probablemente sepa como resolver ecuaciones .

Cómo factorizar polinomios

El papel de la factorización debería estar claro a estas alturas, en términos de su utilidad para resolver ecuaciones. El único problema es que no existe una única estrategia genérica que se pueda utilizar para factorizar TODAS las posibles expresiones algebraicas.

Entonces, normalmente, estaremos felices de factorizar expresiones relativamente simples, pero idealmente, nos gustaría saber cómo factorizar tantas expresiones como podamos.

El equilibrio se alcanza con una clase muy general de expresiones que, a menudo, podemos factorizar de manera muy sistemática. Esa clase es la clase de polinomios. Por ejemplo, la expresión

\[\large 2x^2 + 5x + 3\]

es un polinomio de grado 2. O la siguiente expresión

\[\large x^3 - 3x^2 + 4x+2\]

es un polinomio de grado 3.

En general, una expresión de la forma

\[\large a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\]

es un polinomio de grado \(n\). Naturalmente, cuanto más simple sea la expresión, más fácil será simplificar, por lo que primero deberíamos intentar aprender a factorizar expresiones cuadráticas. Es decir, polinomios de grado dos.

EJEMPLO 1

Factoriza la siguiente expresión cuadrática

\[\large x^2 + x - 2\]

RESPONDER:

Este ejemplo le mostrará, a propósito, que puede ser complicado factorizar incluso la expresión más simple, como la anterior. ¿Qué harías para factorizarlo?

¿Qué pasa si te digo que debes agregar cero? Es algo ridículo, ¿verdad? Veamos:

\[\large x^2 + x - 2 = x^2 + x + 0 - 2 \]

¿Estás de acuerdo con lo anterior? Acabo de agregar \(0\). Nada ha cambiado. Pero, ¿y si te digo que \(0 = 2x - 2x\)? Por lo que entonces

\[\large x^2 + x - 2 = x^2 + x + 0 - 2 = x^2 + x + (2x - 2x) - 2 \]

¡Todos iguales! Funciona, porque agregué cero, así que nada cambia. Pero ahora lo expandimos y lo agrupamos:

\[\large x^2 + x - 2 = x^2 + x + 0 - 2 \] \[\large = x^2 + x + (2x - 2x) - 2 \] \[ \large = x^2 + x - 2x + 2x - 2 \] \[\large = x^2 + (x - 2x) + 2x - 2 \] \[\large = x^2 - x + 2x - 2 \] \[\large = x(x-1) + 2(x-1)\] \[\large = (x+2)(x-1)\]

Entonces, finalmente, \(x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)\). ¿Difícil? Quizás, pero esa es una forma de hacerlo. A pesar de ser una forma inteligente de hacerlo, preferiríamos una forma más sistemática.

Factorizar un polinomio cuadrático

Los trucos inteligentes están bien, y todo eso, pero por lo general preferiremos un enfoque sistemático, que nunca falla. Para polinomios cuadráticos (polinomios de grado 2), existe una forma sistemática de proceder con la factorización:

Paso 1 : Dada la expresión cuadrática \(ax^2 + bx + c\), primero resolvemos la ecuación

\[\large ax^2 + bx + c = 0\]

Paso 2 : Si las soluciones (raíces) de la ecuación anterior son reales (incluso si solo hay una raíz), llamamos a esas raíces \(x_1\) y \(x_2\). Con estas raíces, obtenemos los siguientes factores:

\[\large ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]

por lo que las soluciones \(x_1\) y \(x_2\) determinan completamente los factores.

Naturalmente, en este caso, como se esperaba, la resolución de una ecuación cuadrática está estrechamente relacionada con la factorización de la ecuación cuadrática.

EJEMPLO 2

Factoriza la siguiente ecuación cuadrática

\[\large x^2 - 4x + 3\]

calculando sus raíces.

RESPONDER:

Comenzamos resolviendo la ecuación cuadrática correspondiente:

\[\large x^2 - 4x + 3 = 0\]

usando el famoso y conocido Fórmula cuadrática :

\[\large\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[\large\displaystyle = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} \] \[\large\displaystyle = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} \] \[\large\displaystyle = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} \] \[\large\displaystyle = \frac{4 \pm 2}{2} \]

lo que implica que las soluciones (raíces) son \(x_1 = 1\) y \(x_2 = 1\). Entonces, la expresión cuadrática \(x^2 - 4x + 3\) se puede factorizar de la siguiente manera:

\[\large x^2 - 4x + 3 = a(x - x_1)(x - x_2) = (x-1)(x-3) \]

Observe que en este caso el término que multiplica el término \(x^2\) es 1, entonces en este caso \(a = 1\).

Factorizar polinomios con grado superior a 2

Entonces, para factorizar polinomios cuadráticos, simplemente calculo las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente. ¿Cómo factorizo ​​polinomios de grado superior? Usando exactamente el mismo método .

Paso 1: Dada la expresión polinomial \(a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\), primero resolvemos la ecuación


\[\large a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = 0\]

Paso 2: Si las soluciones (raíces) de la ecuación anterior son reales (incluso si se repiten), llamamos a esas raíces \(x_1\), \(x_2\), ..., \(x_n\). Con estas raíces, obtenemos los siguientes factores:


\[\large a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0 = a_n(x - x_1)(x - x_2)\cdots (x - x_n)\]

Entonces, parecería que es igualmente simple factorizar un polinomio de grado 2 que factorizar un polinomio de grado 10. Teóricamente, la respuesta es sí.

El único problema es que no existe una fórmula algebraica simple y cercana que pueda resolver raíces para una ecuación polinomial de grado 5 o superior.

A veces, podemos resolver ecuaciones de grado superior mirando el gráfico o incluso usando la calculadora. Por ejemplo, consulte el siguiente gráfico:

Ejemplo de cómo factorizar un polinomio cúbico

Gráficamente, podemos ver que el polinomio cruza el eje x en tres puntos: \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\) y \(x_3 = 3\), por lo que estas son las raíces.

Entonces, sabemos que el polinomio debe tener la forma \(p(x) = a(x+1)(x-1)(x-3)\). Necesitaríamos saber un punto más para conocer la constante \(a\).


Más sobre factoraje

Solo estamos rascando la superficie con el concepto de factorización, aunque no hay mucho más de lo que se puede hacer con las expresiones generales. Lo mejor que podemos hacer es dar un enfoque sistemático a los polinomios factoriales.

Pero tener un tratamiento general para factorizar polinomios no es una cosa menor, y la idea de usar las raíces para factorizar un polinomio es nada menos que el Teorema Fundamental del Álgebra. Entonces, al menos por el título, se puede decir que no es poco.

Factorizar expresiones generales

No hay reglas generales para factorizar expresiones generales. Necesitamos jugar de oído e intentar explotar la estructura de la expresión. A veces podemos factorizar, a veces no. Todo depende de la expresión. La única regla general es tratar de agrupar e intentar encontrar factores comunes para agrupar y simplificar aún más.

Cómo factorizar por agrupación

Ese es el primer ejemplo que hicimos. Di que tienes:

\[\large x^2 - x + 2x - 2 \]

entonces agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos términos para obtener:

\[\large (x^2 - x) + (2x - 2) \]

y cada uno de estos grupos se puede factorizar como

\[\large x(x - 1) + 2(x - 1) \]

y ahora tenemos dos términos que tienen un factor común \(x-1\), así que lo factorizamos como

\[\large (x+2)(x - 1) \]

A veces es más práctico usar una calculadora para encontrar los factores. Puedes usar nuestro solucionador de ecuaciones cuadráticas para encontrar los factores de una expresión cuadrática.

Observe que existen varias técnicas que pueden ayudarlo cuando necesite factorizar una expresión, dependiendo de su estructura. Uno de ellos es el método de factor por agrupación que, cuando funciona, puede simplificar mucho el proceso de simplificación.

iniciar sesión

No tiene una membresia?
Regístrate

restablecer la contraseña

Regístrate