El círculo de la unidad
El círculo unitario es uno de los "laboratorios" más utilizados para comprender muchos conceptos matemáticos. El círculo unitario cruza Álgebra (con la ecuación del círculo), Geometría (con ángulos, triángulos y Teorema de Pitágoras) y Trigonometría (seno, coseno, tangente) en un solo lugar.
El nombre lo dice claramente: el círculo unitario es un círculo de radio \(r=1\), que por conveniencia se supone que está centrado en el origen \((0, 0)\). Tenga en cuenta que estamos hablando del caso bidimensional.
Ángulos y círculo unitario
El círculo unitario, o un círculo de cualquier radio, es una forma muy práctica de trabajar con ángulos. Recordemos que la medida de un ángulo es proporcional a la cantidad de circunferencia del círculo que abarca el ángulo.
Por ejemplo, si un ángulo abarca un cuarto de la circunferencia y su origen es el mismo que el centro del círculo, entonces la medida del ángulo es un cuarto de la medida de un ángulo completo, que es 360/4 = 90 o si se mide en grados, o \(2\pi/4 = \pi/2\) si se mide en radianes
.Hay otras circunstancias en las que el origen del ángulo no es el mismo que el centro del círculo, como en el caso del gráfico siguiente:
Funciones trigonométricas y el círculo unitario
Usar el círculo unitario es muy útil para trabajar con funciones trigonométricas. De hecho, resulta que si tenemos un punto \((x,y)\) en un círculo con radio \(r\), entonces tenemos que
\[\large \sin \alpha = \frac{y}{r}\] \[\large \cos \alpha = \frac{x}{r}\] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]donde \(\alpha\) es el ángulo que se muestra en la siguiente figura:
Pero cuando \(r = 1\), esto es, cuando el radio es 1 (que es el caso en el círculo unitario), encontramos que
\[\large \sin \alpha = y \] \[\large \cos \alpha = x \] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]
Por tanto, la operación con funciones trigonométricas es mucho más sencilla cuando el radio de un círculo es 1, y entonces todo se vuelve mucho más visual. Y podemos usar reglas mnemotécnicas como "el seno de un ángulo es el lado opuesto" y "el coseno de un ángulo es el lado adyacente".
La ecuación del círculo unitario
Para un círculo unitario que está centrado en el origen, la ecuación que satisface cualquier punto \((x, y)\) en él es:
\[\large x^2 + y^2 = 1\]Cualquier par \((x, y)\) que pertenezca a un círculo de radio 1 debe satisfacer lo anterior. Si el punto \((x, y)\) no satisface lo anterior, entonces no pertenece al círculo.
EJEMPLO 1
¿El punto \(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) pertenece al círculo unitario ?.
RESPONDEDOR:
Necesitamos verificar que el punto satisfaga la ecuación definida anteriormente. Obtenemos:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \]Entonces, en este caso, el punto \( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) pertenece al círculo unitario
EJEMPLO 2
¿El punto \(\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) pertenece al círculo unitario?.
RESPONDEDOR:
Necesitamos verificar si el punto satisface o no la ecuación definida anteriormente. Obtenemos:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{25}{36} \]Entonces, en este caso, el punto \( \displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) NO pertenece al círculo unitario
Más sobre el círculo unitario
Una de las preguntas que siempre me hacen es si la ecuación del círculo unitario describe una función o no. La respuesta es no. De hecho, la ecuación del círculo unitario define una relación.
Hay al menos dos formas de conocer. La favorita de los estudiantes es la "prueba de línea vertical". Tenemos el siguiente gráfico:
Vea en el gráfico de arriba, y podemos ver que tenemos esta línea vertical que cruza el gráfico en más de un punto. La conclusión es que la gráfica representa una relación, no una función.
Ahora, si quieres saber qué sucede cuando el radio no es 1 y el círculo no está centrado en el origen, consulta nuestro tutorial sobre el ecuación del círculo , en el que se maneja el caso general.
La función de unidad y funciones trigonométricas
El círculo unitario está estrechamente vinculado con todas las funciones trigonométricas. El seno y el coseno están representados directamente por los lados de triángulos con vértices en el círculo. Además, la medida de los ángulos en radianes hace una asociación clara con el ángulo y la longitud del arco generado.
Los radianes son las medidas de ángulos naturales para los círculos, aunque algunas personas pueden sentirse más cómodas usando grados. Utilizar este conversión de radianes a grados para realizar las conversiones que desee si se siente más cómodo con grados en lugar de radianes