El círculo unitario
El circulo unitario es uno de los objetos más reconocibles en matemáticas y es muy transversal en varias materias de matemáticas, incluidas álgebra, cálculo, geometría y trigonometría.
De hecho, el círculo unitario es uno de los "laboratorios" más utilizados para comprender muchos conceptos matemáticos. El círculo unitario cruza Álgebra (con ecuación del círculo), Cálculo (con pendientes, rectas tangentes y áreas), Geometría (con ángulos, triángulos y Teorema de Pitágoras) y Trigonometría (seno, coseno, tangente) en un solo lugar.
¿qué es un círculo unitario?
El nombre lo dice claramente: el círculo unitario es un círculo de radio \(r=1\), que por conveniencia se supone que está centrado en el origen \((0, 0)\). Tenga en cuenta que estamos hablando del caso bidimensional.
Los ángulos y el círculo unitario
El círculo unitario, o un círculo de cualquier radio, es una forma muy práctica de trabajar con ángulos. Recordemos que la medida de un ángulo es proporcional a la magnitud de la circunferencia del círculo que abarca el ángulo.
Por ejemplo, si un ángulo abarca un cuarto de la circunferencia y su origen es el mismo que el centro del círculo, entonces la medida del ángulo es un cuarto de la medida de un ángulo completo, que es 360/4 = 90 O si se mide en grados, o \(2\pi/4 = \pi/2\) si se mide en radianes
.Existen otras circunstancias en las que el origen del ángulo no es el mismo que el centro del círculo, como en el caso del siguiente gráfico:
Funciones trigonométricas y el círculo unitario
Usar el círculo unitario es muy útil para trabajar con funciones trigonométricas. De hecho, resulta que si tenemos un punto \((x,y)\) en un círculo con radio \(r\), entonces tenemos que
\[\large \sin \alpha = \frac{y}{r}\] \[\large \cos \alpha = \frac{x}{r}\] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]donde \(\alpha\) es el ángulo que se muestra en la siguiente figura:
Pero cuando \(r = 1\), es decir, cuando el radio es 1 (que es el caso en el círculo unitario), encontramos que
\[\large \sin \alpha = y \] \[\large \cos \alpha = x \] \[\large \tan \alpha = \frac{y}{x}\]
Por tanto, la operación con funciones trigonométricas es mucho más sencilla cuando el radio de un círculo es 1, y entonces todo se vuelve mucho más visual. Y podemos usar reglas mnemotécnicas como "el seno de un ángulo es el lado opuesto" y "el coseno de un ángulo es el lado adyacente".
La ecuación del círculo unitario
Entonces, la gran pregunta es: ¿cuál es la fórmula del círculo unitario? Para un círculo unitario centrado en el origen, la ecuación que satisface cualquier punto \((x, y)\) en él es:
\[\large x^2 + y^2 = 1\]Cualquier par \((x, y)\) que pertenezca a un círculo de radio 1 debe cumplir lo anterior. Si el punto \((x, y)\) no cumple lo anterior, entonces no pertenece al círculo.
¿cuál es la fórmula del círculo unitario en general?
La fórmula anterior es sólo el caso más simple de un círculo unitario centrado en el origen. Cuando desee calcular la fórmula del círculo en general, para un círculo unitario centrado en \((x_0, y_0)\), debemos usar la siguiente fórmula:
\[\large (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = 1\]Para este caso más general, puedes usar esto calculadora de ecuaciones circulares , que muestra todos los pasos para llegar a la fórmula del círculo a partir de una ecuación cuadrática adecuada.
¿cómo se memoriza rápidamente el círculo unitario?
Aunque no es estrictamente necesario, podría resultar útil memorizar ángulos notables del círculo unitario. Con la facilidad de acceso de las calculadoras científicas, parece un ejercicio un poco innecesario, pero definitivamente ayuda a comprender el círculo unitario al hacerlo.
Naturalmente, no podrás aprender TODOS los ángulos notables (o tal vez puedas), pero al menos es una buena idea conocer los múltiplos más notables de \(\pi\), como \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), etc.
¿por qué se llama círculo unitario?
La respuesta a esto es simple: se llama círculo unitario porque, en primer lugar, es un círculo y, en segundo lugar, tiene un radio igual a 1. Entonces, el unidad o unitario parte proviene del hecho de que el radio es 1.
En Álgebra, Cálculo y Geometría Analítica existe la necesidad de utilizar el calificativo "unidad", porque no todos los círculos que se tratan son en realidad círculos unitarios. Sin embargo, en trigonometría, cuando mencionas un círculo, generalmente te refieres por defecto al círculo unitario, a menos que se especifique explícitamente.
¿es el círculo unitario infinito?
Hay varias formas de responder a esa pregunta y la respuesta varía. En el sentido de área, el círculo unitario no es infinito, porque tiene un área igual a \(\p\).
Ahora bien, se podría argumentar que el círculo unitario está formado por un número infinito de puntos, lo cual es cierto, y eso implicaría que es "infinito" en algún sentido.
Entonces la respuesta realmente depende de lo que definas como "infinito".
EJEMPLO 1
¿El punto \(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) pertenece al círculo unitario?.
Respuesta:
Necesitamos verificar que el punto satisfaga la ecuación definida anteriormente. Obtenemos:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2+ \left(\frac{\sqrt 2}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} + \frac{2}{4} = 1 \]Entonces, en este caso, el punto \( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) sí pertenece al círculo unitario.
Ejemplo 2
¿El punto \(\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) pertenece al círculo unitario?.
Respuesta:
Necesitamos verificar si el punto satisface o no la ecuación definida anteriormente. Obtenemos:
\[\large x^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2+ \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{25}{36} \]Entonces, en este caso, el punto \( \displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) NO pertenece al círculo unitario.
Más sobre el círculo unitario
Una de las preguntas que siempre me hacen es si la ecuación del círculo unitario describe o no una función. La respuesta es no. De hecho, la ecuación del círculo unitario define una relación.
Hay al menos dos formas de saberlo. La favorita de los estudiantes es la "prueba de la línea vertical". Tenemos el siguiente gráfico:
Vea en el gráfico de arriba, y podemos ver que tenemos esta línea vertical que cruza el gráfico en más de un punto. La conclusión es que la gráfica representa una relación, no una función.
Ahora bien, si quieres saber qué pasa cuando el radio no es 1 y el círculo no está centrado en el origen, consulta nuestro tutorial sobre aspectos generales. ecuacion del circulo , en el que se maneja el caso general.
¿cómo se convierte un círculo unitario?
Un círculo unitario se puede convertir cambiando su centro y cambiando su radio. Por supuesto, al hacerlo se llega a algo que no es un círculo unitario, sino un circulo general en cambio.
Estos cambios de centro y radio pueden verse geométricamente como una traslación y un estiramiento, respectivamente.
La función unitaria y las funciones trigonométricas
El círculo unitario está estrechamente relacionado con todas las funciones trigonométricas. El seno y el coseno están representados directamente por los lados de triángulos con vértices en el círculo. Además, la medida de los ángulos en radianes establece una clara asociación con el ángulo y la longitud del arco generado.
Los radianes son las medidas de ángulos naturales de los círculos, aunque algunas personas tienden a sentirse más cómodas usando grados. Utilizar esta conversión de radianes a grados para realizar las conversiones deseadas si se siente más cómodo con grados en lugar de radianes