Sistema de Ecuaciones: Calculadora de Método de Sustitución


Instrucciones: Usa esta calculadora para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales usando el método de sustitución, mostrando todos los pasos. Escriba dos ecuaciones lineales válidas en los cuadros que se proporcionan a continuación:

Escriba una ecuación lineal (Ej: y = 2x + 3, 3x - 2y = 3 + 2/3 x, etc.)

Escribe otra ecuación lineal (Ej: y = 2x + 3, 3x - 2y = 3 + 2/3 x, etc.)


Más sobre el método de sustitución para resolver sistemas lineales

Existen diferentes enfoques para resolver sistemas de ecuaciones. En el caso de sistemas lineales de 2 por 2, existen enfoques como el método gráfico que son útiles porque te dan una representación gráfica de las ecuaciones como líneas y la solución del sistema como los puntos de intersección.

Pero el problema con el método gráfico es que no siempre te da la solución exacta, obtienes casi todas las veces una solución aproximada.

El método de sustitución es una metodología para resolver sistemas de ecuaciones que encontrará las soluciones analíticamente y encontrará la solución exacta.

Cómo usar esta calculadora de sustitución con pasos

  • Hay dos cajas para que escribas ecuaciones.
  • Asegúrate de escribir ecuaciones lineales con dos variables
  • Si tiene más de dos variables o dos ecuaciones, use este general Calculadora de sistema de ecuaciones

¿Cómo se resuelve el sistema de ecuaciones por sustitución?

El enfoque es muy simple:

1) Elija una de las dos ecuaciones, para la cual es fácil de resolver para cualquier \(x\) o \(y\), y resuelva para esa variable, en términos de la otra variable.

A menudo, las ecuaciones se dan como, por ejemplo, "\(x = 2y + 3\)" donde ya está resuelto para \(x\) o por ejemplo "\(y = 2x + 3\)" donde ya está resuelto para \(y\)

2) Ahora que ha resuelto una variable en una de las ecuaciones, use esa variable que resolvió y reemplácela en la otra ecuación.

3) Esta ecuación será en términos de la otra variable (no la que resolviste originalmente), y luego la resolverás y obtendrás un resultado numérico.

4) Con el resultado numérico encontrado para la otra variable, regrese a la variable original que resolvió e ingrese el valor que acaba de resolver numéricamente

Método De Sustitución

¿Cómo se hace la sustitución en una calculadora?

Mucha gente se pregunta cómo resolver un sistema de ecuaciones en una calculadora, pero sucede que todos los sistemas funcionan de manera diferente. Con esta calculadora, todo lo que tiene que hacer es escribir su sistema especificando dos ecuaciones lineales .

Estas ecuaciones pueden simplificarse o no, pero siempre que sean ecuaciones lineales válidas, funcionará bien.

Una vez que haya escrito las dos ecuaciones, nuestra calculadora intentará seleccionar la mejor variable para hacer la sustitución y la sustituirá de nuevo en la otra ecuación.

¿Qué se entiende por método de sustitución?

El nombre sugiere directamente el procedimiento seguido: necesitas encontrar una sustitución, que se obtiene usando una de las ecuaciones para resolver una variable en términos de la otra. Esa es la sustitución.

Y luego, tomas la sustitución y la reemplazas en la otra ecuación. Por eso se llama método de sustitución. Podría haberme llamado el método de "reconexión", pero eso no funcionó...

Cálculo Del Método De Sustitución

Ejemplo: Resolver un sistema usando el método de sustitución

Pregunta: Considere el siguiente sistema de ecuaciones.

\[\begin{matrix} \displaystyle 3x+2y & = & 3\\\\\displaystyle x-2y & = & 2 \end{matrix} \]

Encuentre su solución usando el método de sustitución.

Solución:

Paso 1: Encuentra una sustitución

Usamos la segunda ecuación para resolver \(x\), para encontrar una sustitución:

Poniendo \(x\) en el lado izquierdo y \(y\) y la constante en el lado derecho obtenemos

\[\displaystyle x = 2y +2\] Paso 2: reemplaza la sustitución en la otra ecuación

Ahora, necesitamos reemplazar la sustitución \(\displaystyle x=2y+2\) encontrada en la segunda ecuación, en la primera ecuación \(\displaystyle 3x+2y=3\), por lo que encontramos que:

\[\displaystyle 3x+2y=3\] \[\Rightarrow \displaystyle 3\cdot \left(2y+2\right)+2y=3\] \[\Rightarrow \displaystyle 6y+6+2y=3\] Paso 3: resuelve la ecuación sustituida

Agrupando los términos comunes, obtenemos:

\[\displaystyle \left(6+2\right)y+6=3\]

y la simplificación de esos términos conduce a

\[\displaystyle 8y+6=3\]

Poniendo \(y\) en el lado izquierdo y las constantes en el lado derecho obtenemos

\[\displaystyle 8 y = 3 - 6\] \[\Rightarrow \displaystyle 8y = -3\]

Entonces, resolviendo para \(y\), dividiendo ambos lados de la ecuación por \(8\), se obtiene lo siguiente

\[\displaystyle y=-\frac{3}{8}\] Paso 4: conectando de nuevo para encontrar la otra variable

Ahora conectando esto de nuevo en la otra ecuación:

\[\displaystyle x=2y+2\] \[\Rightarrow \displaystyle x=2\cdot \left(-\frac{3}{8}\right)+2\] \[\Rightarrow \displaystyle x=\frac{5}{4}\] Paso 5: verifique las soluciones encontradas volviendo a las ecuaciones originales

Verificaremos si las soluciones encontradas realmente satisfacen o no las ecuaciones.

We plug \(\displaystyle x = \frac{5}{4}\) and \(\displaystyle y = -\frac{3}{8}\) into the provided equations and we get
\[\begin{matrix} \displaystyle 3\cdot \left(\frac{5}{4}\right)+2\cdot \left(-\frac{3}{8}\right) & = & 3\\\\\displaystyle \left(\frac{5}{4}\right)-2\cdot \left(-\frac{3}{8}\right) & = & 2 \end{matrix} \]

lo que confirma que las soluciones encontradas son soluciones reales del sistema de ecuaciones.

Conclusión

Por lo tanto, con base en el análisis realizado con el método de sustitución, existe una solución única, que es \(x^* = \displaystyle \frac{5}{4}\), \(y^* = \displaystyle -\frac{3}{8}\).

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