Mehr zu diesem invertierbaren Matrixrechner mit Schritten

Das Konzept der Umkehrung der Matrix wird in so vielen Kontexten in Algebra erscheinen.Erstens ist es für Matrizen die Idee, sie auf ähnliche Weise wie mit Zahlen ausführen zu können.Und in der Tat gibt es vernünftige Szenenoperation Anwesend Unterhandtrainion und Multiplikation von Matrizen .

Aber wie wäre es mit der "Teilung" von Matrizen?Wenn wir beispielsweise eine Zahl 3 haben, kann ich die (multiplikativen) Umkehrung dieser Zahl definieren, die ich als $3^{-1}$ oder häufiger als $\displaystyle \frac{1}{3}$ schreiben kann.

Eine entscheidende Eigenschaft für diese Inverse ist, dass Sie bei der Multiplizierung mit der ursprünglichen Nummer 1 $3 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1$ erhalten.

Wie man Matrix identifiziert und invertierbar ist

• Funde sie Fest, Dass Seine Determinante unterscheidet sich von Null
• Holen Sie sich seine Form-Echelon-Form und holen Sie sich eine diagonale Matrix ohne Nullen
• Finde das das Rref der matrix ist die Identität

Wie definieren Sie die Umkehrung einer Matrix?

Für Matrizen wird die Rolle der "1" von der Identitätsmatrix $I$ gespielt und eine Matrix $A$ wird sagen, dass $A^{-1}$ die Inverse von $A$ istwenn $A A^{-1} = I = A^{-1} A$.

Mit anderen Worten, die Umkehrung einer bestimmten Matrix $A$ ist eine Matrix, die die Eigenschaft hat, die die Eigenschaft hat, die Multiplizieren Sie Diese Matrix mit dem Original führt zur Identitätsmatrix I.

Wie berechnen Sie die inverse Matrix?

Es gibt viele, viele verschiedene Möglichkeiten, die Umkehrung einer bestimmten Matrix $A$ zu berechnen.Eine der am häufigsten verwendeten Methoden ist die Adjoint -Formel , der auf dem Rechner einer ganzen Reihe von Determinanten von Submatrizen basiert, die durch Entfernen einer Zeile und einer Spalte von $A$ erhalten werden.

Beachten Sie, dass dieser inverse Rechner Ihnen auch die Möglichkeit gibt, die Inverse mit der Gaußschen Reduktionsmethode zu berechnen Berechnen sie Die Reduzierte Zeila -Schepper -Form einer erweiterten Matrix.

Es gibt auch die Pivotierungsmethode zum Umwandeln der anfänglichen $A$ Matrix in die Identität unter Verwendung von Elementarmatrizen und gleichzeitig die Verfolgung der Multiplikation dieser Elementarmatrizen, die sich als inverse herausstellt.

$$E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}$$

Es gibt auch Invertiermethoden, die auch auf einigen Zerlegungen basieren, und letztendlich können Matrizen mit spezifischen nützlichen Strukturen schneller verarbeitet werden, um ihre inverse mit speziellen Methoden zu finden, die nur für bestimmte Strukturen anwendbar sind.

Was ist die Formel für die inverse Matrix?

Mit der Adjoint -Formel stellen wir fest, dass die Formel für die Umkehrung einer Matrix $A$ lautet:

$$A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)$$

Auf den ersten Blick sieht das einfach aus!Aber es ist nicht so sehr, wenn die Größe der Matrix groß ist.In der oben genannten Formel sagt Ihnen die obige Formel, dass Sie die Determinante der Matrix berechnen müssen und auch die Adjoint -Matrix berechnen müssen.

Im Gegensatz zu den Anscheinungen könnte dies vermuten lassen, dass dies sehr arbeitsintensiv sein könnte, wobei die Größe der Matrix groß ist (wie $n > 4$).Es ist also gut, dass wir eine kompakte Formel haben, aber das bedeutet nicht unbedingt, dass sie nicht arbeitsintensiv ist.

Wie können Sie eine 2x2 -Matrix umkehren?

Zuerst müssen Sie sicherstellen, dass $\det(A) \ne 0$.Angenommen, wir haben eine 2x2 -Matrix, wir werden die Adjoint -Formel verwenden.Lassen

$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$$

Mit der Adjoint -Formel würden wir also bekommen

$$A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T$$

Für die allgemeine 2x2 -Matrix $A$ seine Determinante ist

$$\det(A) = ad - bc$$

Auch die Cofaktormatrix ist

$$C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}$$

Jetzt müssen wir die Matrix $C$ übertragen:

$$C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Schließlich haben wir die Formel für die Inverse:

$$A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$$

Einfach genug, oder?Sie möchten für 3x3 versuchen?

Wie finde ich die Umkehrung einer 3x3 -Matrix?

Die erste Anforderung besteht wie bei allen Matrizen darin, die Determinante zu berechnen und sicherzustellen, dass $\det(A) \ne 0$.Dann müssen wir uns an die generische Adjoint -Formel erinnern

$$A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T$$

wo $C$ ist die Matrix der Cofaktoren.Wenn Sie dies explizit schreiben würden, würden Sie so etwas bekommen: für $A$ Eine generische 3x3 -Matrix:

$$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$$

Wir würden bekommen

$$A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T$$

Für die allgemeine 3x3 -Matrix $A$ seine Determinante ist

$$\det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)$$

Auch die Cofaktormatrix ist

$$C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}$$

Jetzt müssen wir die Matrix $C$ übertragen:

$$C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}$$

Schließlich haben wir die Formel für die Inverse:

$$A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}$$

Bereit, das auswendig zu lernen?Natürlich nicht.Nicht, dass du wirklich musst.Dies ist nur ein Teaser dafür, wie kompliziert es wird, wenn Sie versuchen, eine allgemeine Formel für eine einfache 3x3 -Matrix zu erhalten.Es wird wirklich chaotisch und eher nutzlos für $n > 3$.

Es ist also viel praktischer, eine Reihe von Schritten für die Suche nach dem Inversen anzuwenden:

Was sind die Schritte, um die Umkehrung einer Matrix zu berechnen?

Schritt 1: Berechnen Sie die Determinante der angegebenen Matrix A. Beachten Sie, dass dies für große Matrizen berechnet werden kann. Verwenden Sie daher die Berechnung der Determinante durch die Zeile/Spalte mit den meisten Nullen.

Schritt 2: Berechnen Sie die Cofaktormatrix, die der Matrix A zugeordnet ist.Auch hier, wenn Sie die Unterdeterminanten berechnen, stellen Sie sicher, dass Sie die Zeile/Spalte mit den meisten Nullen auswählen.

Schritt 3: Sobald Sie die Determinante der ursprünglichen Matrix und der Cofaktormatrix haben, teilen Sie jede Komponente der Cofaktormatrix durch die Determinante auf, und das Ergebnis davon ist schließlich die inverse Matrix.

So verwenden Sie diesen inversen Taschenrechner

1. Geben Sie die Größe der Matrix an
2. Geben Sie die Zahlen ein, die die Matrix bestimmen
3. Wählen Sie die Methode aus, die Sie bevorzugen, um die Inverse zu berechnen: "Adjoint -Formel" oder "reduzierte Zeile -Echelon -Form"
4. Klicken Sie auf "Inverse Berechnen"

Beispiel: Berechnung der Umkehrung einer bestimmten Matrix

Frage: Betrachten Sie die folgende Matrix:

$$A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}$$

Finden Sie ihre Umkehrung mit der Adjoint -Formel.

Lösung: Wir müssen die Umkehrung einer $3 \times 3$ Matrix berechnen, die bereitgestellt wurde.

Schritt 1: Berechnen Sie die Determinante der Matrix

Verwenden der subdeterminanten Formel, die wir erhalten:

$$\begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)$$ $$= 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2$$

Da $\det(A) = 2 \ne 0$ wir schließen, dass die Matrix invertierbar ist, können wir mit der Berechnung der Umkehrung der angegebenen Matrix $A$ fortsetzen.

Schritt 2: Berechnen Sie die Cofaktormatrix

Zuerst berechnen wir die Minors -Matrix.Wir haben per Definition die minors matrix $M$ durch die Formel definiert

$$M_{ij} = \det A^{i,j}$$

Wo in diesem Fall $A^{i,j}$ ist die Matrix $A$ Nach dem Löschen von Zeile $i$ und Spalte $j$.

Daher und basierend auf der Matrix $A$ vorausgesetzt, wir erhalten die folgenden Koeffizienten der Minors -Matrix:

Für $A^{ 1, 1}$:

$$M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3$$

Für $A^{ 1, 2}$:

$$M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2$$

Für $A^{ 1, 3}$:

$$M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1$$

Für $A^{ 2, 1}$:

$$M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1$$

Für $A^{ 2, 2}$:

$$M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0$$

Für $A^{ 2, 3}$:

$$M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1$$

Für $A^{ 3, 1}$:

$$M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7$$

Für $A^{ 3, 2}$:

$$M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2$$

Für $A^{ 3, 3}$:

$$M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3$$

Zusammenfassend ist die Minors -Matrix:

$$M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix}$$

Jetzt können wir die Elemente der Cofaktormatrix $C$ mit der Formel berechnen

$$C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$$

Die obige Formel kann direkt verwendet werden, da die Minderjährigen bereits bekannt sind.Wir bekommen

$$C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3$$ $$C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2$$ $$C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1$$ $$C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1$$ $$C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0$$ $$C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1$$ $$C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7$$ $$C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2$$ $$C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3$$

Zusammenfassend ist die Cofaktormatrix:

$$C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix}$$

Schritt 3: Berechnen Sie die Adjoint -Matrix aus der Cofaktormatrix

Jetzt müssen wir nur die Cofaktormatrix transponieren, die wir zur Berechnung der Adjoint -Matrix gefunden haben.Wir bekommen:

$$adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix}$$

Schritt 4: Berechnen Sie die Umkehrung aus der Cofaktormatrix

Schließlich müssen wir $\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2}$ mit jeder Komponente der Adjoint -Matrix multiplizieren.Also bekommen wir:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix}$$

Dies schließt die Berechnung der Umkehrung der Matrix $A$ ab.