Mehr zu diesem Adjoint -Matrix -Rechner.

Gleich wie Cofaktoren ist die adjausende Matrix eng mit der Umkehrung einer Matrix verbunden.In der Tat sind die inverse Matrix und die Adjoint -Matrix enge Lookalikes.

Umfangs spielt das Konzept der Angrenzung einer Matrix eine sehr wichtige Rolle in der fortgeschrittenen Mathematik (wo wir uns anstelle von Matrizen mit linearen Operatoren befassen).Aber in der College -Mathematik stolpern Sie wahrscheinlich auf den Adjoint, wenn Sie Berechnen sie Die Umkehrung Einer Matrix Verwenden der Adjoint -Formel.

Wie finden Sie den Adjoint einer Matrix?

Erstens, in Bezug auf die Berechnung einer Matrix, die uns an die berechnet wird, erinnern wir uns an die MINDERJÄRIGE MATRIX Dies wird berechnet, indem die Determinante der Submatrizen berechnet wird, die durch Entfernen der I-DH- und J-ten Spalte der angegebenen Matrix \(A\) entfernen.

Also wurden die Minderjährigen definiert als:

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

Wie komme ich zur Cofaktormatrix?

Das Cofaktormatrix , \(C\) wird von den Minderjährigen durch Hinzufügen bestimmter "Zeichen" erhalten und definiert als:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

Wie kommst du schließlich zur Adjoint -Matrix?Was ist die Adjoint -Formel?

Einfach!Sobald Sie das haben Cofaktormatrix Berechnet bereits das Sie müssen Transponieren Sie die Matrix um den Adjoint zu bekommen.Konkret:

\[ adj(A) = C^T \]

Um es einfacher zu erinnern, dass wir die Adjoint-Formel in 3 Schritte unterteilt haben: Zuerst berechnen Sie die Matrix von Minderjährigen, dann berechnen Sie die Cofaktoren und transponieren dann die Cofaktoren, um den Adjoint zu erhalten.

Sind die Adjoint und Transponierung dasselbe?

Obwohl der Adjoint eine Matrix umgedreht wird, unterscheiden sich im Allgemeinen die Adjoint- und Transponierungsmatrizen voneinander.

Wie finden Sie den Adjoint einer 4x4 -Matrix oder größer?

Der Prozess des Findens des Adjoint kann numerisch umfangreich umfangreich sind, wenn man bedenkt, dass Sie \(n^2\) Unterdeterminanten berechnen müssen, die mit \(n \ge 4\) schnell wachsen können.

Beispiel für die Berechnung der Adjoint -Matrix

Frage: Betrachten Sie die folgende Matrix

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

Berechnen Sie die zugehörige Adjoint -Matrix \(adj A\).

Lösung:

Wir müssen die Adjoint -Matrix der \(3 \times 3\) Matrix berechnen, die bereitgestellt wurde:

Schritt 1: Berechnen Sie die Cofaktormatrix

Zuerst berechnen wir die Minors -Matrix.Wir haben per Definition die minors matrix \(M\) durch die Formel definiert

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

Wo in diesem Fall \( A^{i,j}\) ist die Matrix \(A\) Nach dem Löschen von Zeile \(i\) und Spalte \(j\).

Daher und basierend auf der Matrix \(A\) vorausgesetzt, wir erhalten die folgenden Koeffizienten der Minors -Matrix:

Für \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Für \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Für \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Für \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Für \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Für \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Für \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Für \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Für \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

Zusammenfassend ist die Minors -Matrix:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Jetzt können wir die Elemente der Cofaktormatrix \(C\) mit der Formel berechnen

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

Die obige Formel kann direkt verwendet werden, da die Minderjährigen bereits bekannt sind.Wir bekommen

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2\]

Zusammenfassend ist die Cofaktormatrix:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

Schritt 2: Berechnen Sie die Adjoint -Matrix aus der Cofaktormatrix

Jetzt müssen wir nur die Cofaktormatrix transponieren, die wir zur Berechnung der Adjoint -Matrix gefunden haben.Wir bekommen:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

Dies schließt die Berechnung der Adjoint -Matrix ab.