Matrix RREF -Rechner

Die reduzierte Zeile -Echelon -Form ist eines der nützlichsten Prozess in der linearen Algebra und kann mehrere Zwecke erfüllen.

Der RREF wird normalerweise mit dem Prozess der Gaußschen Eliminierung erreicht.In Bezug auf die Anwendungen kann die reduzierte Zeile -Echelon -Form verwendet werden Lösen Sie Systeme der linearen Gleiungen , zu Berechnen sie Die Umkehrung Einer Matrix , oder um nützliche Matrixabzüge zu finden

Was ist der RREF einer Matrix?

Die Idee der Zeile -Echelon -Form besteht darin, eine äquivalente Matrix systematisch über die Verwendung von invertierbaren Elementarmatrizen zu konstruieren. Erfahren Sie also zu einer Zeilenformform, die eine verallgemeinerte Form einer dreieckigen Form ist.

Mit einem Zeilenreduktionsansatz können wir eine Matrix in diese Form-Echelon-Form verwenden, indem wir verwenden Pivots UNGLECH NULL .

Vorteile des RREF

• Dieser RREF -Rechner reduziert die Matrix auf eine Form, die für viele Zwecke nützlich ist
• Zum Beispiel, wenn die endgültige RREF -Form der angegebenen Matrix die ist Identität , das Matrix IST Invertierbar
• Durch die Erweiterung der ursprünglichen Matrix und das Finden der RREF -Form können die Inverse mit Elementarmatrizen konstruieren
• Es bietet eine systematische Möglichkeit zu Lösen Sie Systeme der linearen Gleiungen .

Wie berechnen Sie das Formular der reduzierten Zeile?

Es gibt verschiedene Ansätze, die möglich sind und die Sie verwenden können.Die Hauptidee besteht jedoch darin, Pivots ungleich Null zu verwenden, um alle Werte in der Spalte zu beseitigen, die unter dem Pivot ungleich Null liegen, was die Grundlage des Verfahrens als Gaußsche Eliminierung bezeichnet.

Eines der entscheidenden Elemente dieser Reduktion ist zu wissen, ob sich eine Matrix in RREF befindet. Wir stoppen den Prozess, wenn sie ist.

Die folgenden Schritte sollten befolgt werden:

Schritt 1 : Überprüfen Sie, ob sich die Matrix bereits in Form des reduzierten Zeile -Echelon -Formulars befindet.Wenn ja, dann stoppen wir, wir sind fertig.

Schritt 2 : Schauen Sie sich die erste Spalte an.Wenn der Wert in der ersten Zeile nicht Null ist, verwenden Sie ihn als Pivot.Wenn nicht, überprüfen Sie die Spalte auf ein Nicht -Null -Element und die Zeilen bei Bedarf, damit sich der Drehpunkt in der ersten Zeile der Spalte befindet.Wenn die erste Spalte Null ist, wechseln Sie zur nächsten Spalte nach rechts, bis Sie eine Spalte ungleich Null finden.

Schritt 3 : Verwenden Sie den Drehpunkt, um alle Werte ungleich Null unterhalb des Drehzahl zu beseitigen.

Schritt 4 : Normalisieren Sie den Wert des Pivots auf 1.

Schritt 5 : Verwenden Sie den Drehpunkt, um alle Werte ungleich Null über dem Drehpunkt zu beseitigen.

Schritt 6 : Danach, wenn die Matrix noch nicht in Form von Zeilen-Echelon ist, bewegen Sie eine Spalte nach rechts und eine Zeile unten, um nach dem nächsten Drehpunkt zu suchen.

Schritt 7 : Wiederholen Sie den Vorgang wie oben.Suchen Sie nach einem Drehpunkt.Wenn sich kein Element von Null an der neuen Pivot-Position oder darunter unterscheidet, schauen Sie nach rechts nach einer Spalte mit einem Element ungleich Null an der Pivot-Position oder darunter und dauern Sie bei Bedarf die Zeilen durch.Beseitigen Sie dann die Werte unter dem Drehpunkt.

Schritt 7 : Setzen Sie den Pivoting-Prozess fort, bis die Matrix in einer reduzierten Form-Echelon-Form ist.

Wie berechnen Sie eine reduzierte Zeile -Stufe auf einem Taschenrechner?

Nicht alle Taschenrechner führen die Eliminierung von Gauß-Jordanien durch, aber einige tun dies.In der Regel müssen Sie lediglich die entsprechende Matrix eingeben, für die Sie RREF -Form einfügen möchten.

Beachten Sie, dass Sie auch Nullen über dem Drehpunkt haben müssen, um eine reduzierte Race -Echelon -Form zu haben.Wenn Sie nicht brauchen, können Sie dies verwenden Zeulen -Echelon -FormRechner , was die Werte nicht über dem Drehpunkt reduziert

Mit diesem Taschenrechner können Sie eine Matrix definieren (mit jeglicher Art von Ausdruck, wie Brüchen und Wurzeln, nicht nur Zahlen), und dann werden alle Schritte über den Prozess der Ankunft der endgültigen reduzierten Zeile -Echel -Form gezeigt.

Die meisten Taschenrechner verwenden einen Elementarzeilenvorgang, um die Berechnung durchzuführen. Unser Taschenrechner zeigt Ihnen jedoch genau und im Detail an, welche Elementarmatrizen in jedem Schritt verwendet werden.

Wie lösen Sie eine RREF -Lösung?

Es hängt ein wenig vom Kontext ab, aber eine Möglichkeit besteht darin, mit einem System -Linear von Gleichungen zu beginnen, es in Matrixform darzustellen. In diesem Fall die RREF -Lösung beim Augmentieren der rechten Seite.

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, mit einer Matrix zu beginnen und sie durch die Identitätsmatrix zu erweitern. In diesem Fall führt die RREF -Lösung zur Umkehrung der ursprünglichen Matrix.

Reduziertes Beispiel für die Zeile -Echelon -Form

Frage: Angenommen, Sie haben die folgende Matrix:

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Finden Sie seine reduzierte Echelonform und zeigen Sie alle Schritte und die entsprechenden Elementarmatrizen.

Lösung: Die bereitgestellte Matrix ist eine \(3 \times 3\) Matrix.

Wir müssen die reduzierte Zeile -Echelon -Form dieser Matrix finden.

Schritt 1 : Operationen zur Reduzierung der Spalte \(1\):
\((1) - R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) - R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Schritt 2 : Operation zur Reduzierung der Spalte \(1\):
\((1) \frac{1}{2} R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Für die Spalte \(2\) sind alle Elemente unter dem Drehpunkt bereits Null, sodass wir nicht eliminieren müssen.

Schritt 3 : Operationen zur Reduzierung der Spalte \(2\) über dem Drehpunkt:
\((1) \frac{1}{4} R_{ 2}, \quad (2) -\frac{3}{2} R_{ 2} + R_{ 1} \rightarrow R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Schritt 4 : Für Spalte \(3\) finden wir keinen drehenden, da die spalte null ist, also wechseln wir zur nächsten spalte.

Daher schließen wir, dass die Matrix in RREF -Form lautet:

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \]