Das Einheitskreis ist eines der bekanntesten Objekte in der Mathematik, und es ist sehr transversal in mehreren mathematischen Fächern, einschließlich Algebra, Calculus, Geometrie und Trigonometrie.

Der Einheitskreis ist in der Tat eines der am häufigsten verwendeten "Labore" für das Verständnis vieler mathematischer Konzepte. Der Einheitskreis verbindet die Algebra (mit der Kreisgleichung), die Infinitesimalrechnung (mit Steigungen, Tangenten und Flächen), die Geometrie (mit Winkeln, Dreiecken und dem Satz des Pythagoras) und die Trigonometrie (Sinus, Kosinus, Tangens) an einem Ort.

Was ist ein einheitskreis?

Der Name sagt es deutlich: Der Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius \(r=1\), der der Einfachheit halber als Mittelpunkt im Ursprung \((0, 0)\) angenommen wird. Beachten Sie, dass wir über den zweidimensionalen Fall sprechen.

Winkel und der einheitskreis

Der Einheitskreis oder ein Kreis mit beliebigem Radius ist eine sehr praktische Methode, um mit Winkeln zu arbeiten. Erinnern wir uns daran, dass das Maß eines Winkels proportional zum Umfang des Kreises ist, über den sich der Winkel erstreckt.

Wenn sich ein Winkel beispielsweise über ein Viertel des Kreisumfangs erstreckt und sein Ursprung mit dem Mittelpunkt des Kreises identisch ist, dann ist das Maß des Winkels ein Viertel des Maßes eines vollen Winkels, also 360/4 = 90 ^o wenn in Grad gemessen, oder \(2\pi/4 = \pi/2\) wenn in Radiant gemessen

Es gibt andere Fälle, in denen der Ursprung des Winkels nicht mit dem Mittelpunkt des Kreises übereinstimmt, wie im Fall des nachstehenden Diagramms:

Trigonometrische funktionen und der einheitskreis

Die Verwendung des Einheitskreises ist sehr nützlich für die Arbeit mit trigonometrischen Funktionen. Es stellt sich nämlich heraus, dass, wenn wir einen Punkt \((x,y)\) in einem Kreis mit Radius \(r\) haben, dann haben wir, dass

wobei \(\alpha\) der in der nachstehenden Abbildung dargestellte Winkel ist:

Aber wenn \(r = 1\), d. h. wenn der Radius 1 ist (was im Einheitskreis der Fall ist), ergibt sich Folgendes

Daher ist die Arbeit mit trigonometrischen Funktionen viel einfacher, wenn der Radius eines Kreises 1 ist, und dann wird alles viel anschaulicher. Und wir können Eselsbrücken verwenden, wie "der Sinus eines Winkels ist die gegenüberliegende Seite" und "der Kosinus eines Winkels ist die angrenzende Seite".

Die gleichung des einheitskreises

Die große Frage ist also: Wie lautet die Formel für den Einheitskreis? Für einen Einheitskreis, der im Ursprung zentriert ist, lautet die Gleichung, die jeder Punkt \((x, y)\) auf dem Kreis erfüllt:

Jedes Paar \((x, y)\), das zu einem Kreis mit Radius 1 gehört, muss die obigen Bedingungen erfüllen. Wenn der Punkt \((x, y)\) die obigen Bedingungen nicht erfüllt, dann gehört er nicht zum Kreis.

Wie lautet die formel für den einheitskreis im allgemeinen?

Die obige Formel ist nur der einfachste Fall eines Einheitskreises, der auf den Ursprung zentriert ist. Wenn Sie die Kreisformel allgemein für einen Einheitskreis mit dem Mittelpunkt \((x_0, y_0)\) berechnen wollen, müssen wir die folgende Formel verwenden:

Für diesen allgemeineren Fall können Sie Folgendes verwenden Kreisgleichungsrechner die Ihnen alle Schritte aufzeigt, wie Sie von einer geeigneten quadratischen Gleichung zur Kreisformel gelangen.

Wie kann man sich den einheitskreis schnell einprägen?

Obwohl es nicht unbedingt notwendig ist, könnte es sich als nützlich erweisen, sich bemerkenswerte Winkel des Einheitskreises einzuprägen. Angesichts der leichten Zugänglichkeit wissenschaftlicher Taschenrechner erscheint dies als eine unnötige Übung, aber es hilft auf jeden Fall, den Einheitskreis zu verstehen.

Natürlich werden Sie nicht in der Lage sein, ALLE bemerkenswerten Winkel zu lernen (oder vielleicht doch), aber zumindest ist es eine gute Idee, die bemerkenswertesten Vielfachen von \(\pi\) zu kennen, wie \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{4}\), usw.

Warum wird er einheitskreis genannt?

Die Antwort darauf ist einfach: Er wird Einheitskreis genannt, weil er erstens ein Kreis ist und zweitens einen Radius von 1 hat einheit oder einheitlich kommt von der Tatsache, dass der Radius 1 ist.

In der Algebra, der Infinitesimalrechnung und der Analytischen Geometrie ist es notwendig, den Zusatz "Einheit" zu verwenden, da nicht alle Kreise, mit denen man zu tun hat, tatsächlich Einheitskreise sind. Wenn in der Trigonometrie von einem Kreis die Rede ist, ist damit in der Regel der Einheitskreis gemeint, es sei denn, dies wird ausdrücklich angegeben.

Ist der einheitskreis unendlich?

Es gibt mehrere Möglichkeiten, diese Frage zu beantworten, und die Antwort fällt unterschiedlich aus. Im Sinne einer Fläche ist der Einheitskreis nicht unendlich, denn er hat eine Fläche, die gleich \(\p\) ist.

Nun könnte man argumentieren, dass der Einheitskreis aus einer unendlichen Anzahl von Punkten besteht, was wahr ist, und das würde bedeuten, dass er in gewissem Sinne "unendlich" ist.

Die Antwort hängt also davon ab, was Sie als "unendlich" definieren.

BEISPIEL 1

Liegt der Punkt \(\displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) auf dem Einheitskreis?

Antworten:

Wir müssen überprüfen, ob der Punkt die oben definierte Gleichung erfüllt. Wir erhalten:

In diesem Fall gehört der Punkt \( \displaystyle (\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})\) also zum Einheitskreis

Beispiel 2

Liegt der Punkt \(\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) auf dem Einheitskreis?

Antworten:

Wir müssen überprüfen, ob der Punkt die oben definierte Gleichung erfüllt oder nicht. Wir erhalten:

In diesem Fall gehört der Punkt \( \displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{2}{3})\) also NICHT zum Einheitskreis

Mehr über den einheitskreis

Eine der Fragen, die mir immer wieder gestellt werden, ist, ob die Gleichung des Einheitskreises eine Funktion beschreibt oder nicht. Die Antwort ist NEIN. Tatsächlich definiert die Gleichung des Einheitskreises stattdessen eine Beziehung.

Es gibt mindestens zwei Möglichkeiten, dies festzustellen. Die beliebteste Methode für Schüler ist der "Vertikaltest". Wir haben das folgende Diagramm:

Im obigen Diagramm sehen wir, dass die vertikale Linie das Diagramm an mehr als einem Punkt kreuzt. Die Schlussfolgerung ist, dass das Diagramm eine Beziehung und keine Funktion darstellt.

Wenn Sie nun wissen wollen, was passiert, wenn der Radius nicht 1 ist und der Kreis nicht im Ursprung zentriert ist, lesen Sie unser Tutorial über die allgemeine Kreisgleichung , in dem der allgemeine Fall behandelt wird.

Wie kann man einen einheitskreis umrechnen?

Ein Einheitskreis kann umgewandelt werden, indem man seinen Mittelpunkt und seinen Radius ändert. Auf diese Weise erhält man natürlich etwas, das kein Einheitskreis ist, sondern ein allgemeiner Kreis stattdessen.

Diese Veränderungen des Zentrums und des Radius können geometrisch als eine Verschiebung bzw. eine Streckung betrachtet werden.

Die einheitsfunktion und trigonometrische funktionen

Der Einheitskreis ist eng mit allen trigonometrischen Funktionen verknüpft. Sinus und Kosinus werden direkt durch die Seiten von Dreiecken mit Scheitelpunkten auf dem Kreis dargestellt. Auch das Winkelmaß im Bogenmaß steht in engem Zusammenhang mit dem Winkel und der Länge des erzeugten Bogens.

Radianten sind die natürlichen Winkelmaße für Kreise, obwohl manche Menschen sich mit der Verwendung von Grad wohler fühlen. Verwenden Sie diese umrechnung von Bogenmaß in Grad um alle gewünschten Umrechnungen vorzunehmen, wenn Sie sich mit Grad statt mit Bogenmaß wohler fühlen