Fatoração de equações quadráticas

Esta calculadora permite calcular uma decomposição fatorial de uma equação quadrática fornecida por você. Você precisa fornecer uma função quadrática válida, por exemplo 5/4 x^2 +3x +1, mas também pode fornecer uma função quadrática que não seja totalmente simplificada, como 2x^2 + 2x + 1/3 + 1/ 5 + 1/4 x, por exemplo, desde que a equação quadrática seja válida.

Naturalmente, fatoração de funções quadráticas está intimamente relacionado com resolvendo equações quadráticas , e veremos que os fatores contêm prontamente as raízes da equação quadrática.

Na verdade, encontrar as raízes de uma equação quadrática é normalmente a maneira mais comum de fatorar uma função quadrática. O outro método é usar o método do zero racional.

Como fazer uma fatoração quadrática?

Existem pelo menos duas abordagens sistemáticas para fatorar equações quadráticas. Uma das maneiras mais comuns é o método de encontrar as raízes da equação quadrática primeiro:

• Etapa 1: Identifique a função quadrática dada e simplifique-a totalmente, se necessário
• Etapa 2: verifique se a função está na forma f(x) = ax² + bx + c
• Passo 3: Use a fórmula quadrática: $x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ para encontrar as raízes $x_1$ e $x_2$
• Passo 4: A fatoração é Use a fórmula quadrática: f(x) = ax² + bx + c = a(x - x₁)(x-x₂)
• Passo 5: O método acima funciona se as raízes são reais ou não

Então, em outras palavras, as raízes das equações quadráticas aparecem ali mesmo nos termos monomiais.

Como fazer fatoração quadrática com o zero racional?

O zero racional é um teorema que nos permite encontrar uma lista de possíveis candidatos racionais que podem ser raízes da equação quadrática e, portanto, podem ser usados para fatorar a equação.

Quais são as etapas do teorema do zero racional?

• Etapa 1: Identifique a função quadrática dada e simplifique-a totalmente, se necessário
• Etapa 2: verifique se a função está na forma f(x) = ax² + bx + c
• Passo 3: Encontre os divisores inteiros (positivos e negativos) de c e a. Em seguida, pegue cada divisor de c e divida-o por cada divisor de a. Isso cria sua lista de candidatos racionais
• Etapa 4: Percorra cada um dos elementos da lista acima e verifique se eles são raízes da equação quadrática fornecida ou não

Este método funciona para a maioria dos casos, mas apenas quando o correspondente Equação quadrática tem raízes racionais.

Resolver quadrática por fatoração

Como vimos acima, resolver quadráticas por fatoração está intimamente relacionado à fatoração da quadrática e, de fato, são processos equivalentes.

De fato, se conseguimos fatorar uma função quadrática, temos que simplesmente olhar para os termos monomiais e obter as raízes imediatamente. .

E, inversamente, se encontramos as raízes, sabemos que a fatoração é simplesmente a(x - x₁)(x-x₂).

Exemplo: exemplo de método de fatoração

Fatorar: $f(x) = x^2 - 3x - 5$

Solução:

Temos a seguinte expressão quadrática: $\displaystyle x^2-3x-5$.

Neste caso, temos que a equação que precisamos tentar fatorar é $\displaystyle x^2-3x-5 = 0$, o que implica que os coeficientes correspondentes são:

$$a = 1$$ $$b = -3$$ $$c = -5$$

Agora, precisamos encontrar os números inteiros que dividem $a$ e $c$, que serão usados para construir nossos candidatos a fatores.

Os divisores de $a = 1$ são: $\pm 1$.

Os divisores de $c = -5$ são: $\pm 1,\pm 5$.

Portanto, dividindo cada divisor de $c = -5$ por cada divisor de $a = 1$, encontramos a seguinte lista de candidatos a fatores:

$$\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 1}$$

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

$$\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 1 \left(-1\right)^2-3 \left(-1\right)-5 & = & \displaystyle -1 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 1 \left(1\right)^2-3 \left(1\right)-5 & = & \displaystyle -7 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 1 \left(-5\right)^2-3 \left(-5\right)-5 & = & \displaystyle 35 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 1 \left(5\right)^2-3 \left(5\right)-5 & = & \displaystyle 5 \ne 0 \\\\ \end{array}$$

Então, nenhum dos candidatos é raiz e, portanto, esse método não permite encontrar os fatores.

Usando a fórmula quadrática

Como não conseguimos encontrar as raízes usando os potenciais candidatos racionais, usamos apenas a fórmula quadrática. Obtém-se o seguinte:

Para uma equação quadrática da forma $a x^2 + bx + c = 0$, as raízes são calculadas usando a seguinte fórmula:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Neste caso, temos que a equação que precisamos resolver é $\displaystyle x^2-3x-5 = 0$, o que implica que os coeficientes correspondentes são:

$$a = 1$$ $$b = -3$$ $$c = -5$$ $$\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(-5\right) = 29$$

Como neste caso obtemos o discriminante $\Delta = \displaystyle 29 > 0$, que é positivo, sabemos que a equação tem duas raízes reais diferentes.

Agora, inserindo esses valores na fórmula das raízes, obtemos:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2-4\left(1\right)\left(-5\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{3 \pm \sqrt{29}}{2}$$

então, descobrimos que:

$$x_1 = -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}$$ $$x_2 = \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}$$

Portanto, a equação dada $\displaystyle x^2-3x-5=0$ tem duas raízes reais diferentes, que são $x_1 = \displaystyle -\frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}$ e $x_2 = \displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{29}+\frac{3}{2}$.

Portanto, dado que existem duas raízes reais, a função quadrática dada pode ser fatorada como

$$\displaystyle x^2-3x-5 = \displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{29}-\frac{3}{2}\right)$$

Exemplo: fatoração de expressões quadráticas

Calcule a fatoração de: $3x^2 - 2x + 15$. A fatoração é real?

Solução:

Temos a seguinte expressão quadrática: $\displaystyle 3x^2-2x+15$.

Neste caso, temos que a equação que precisamos tentar fatorar é $\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0$, o que implica que os coeficientes correspondentes são:

$$a = 3$$ $$b = -2$$ $$c = 15$$

Agora, precisamos encontrar os números inteiros que dividem $a$ e $c$, que serão usados para construir nossos candidatos a fatores.

Os divisores de $a = 3$ são: $\pm 1,\pm 3$.

Os divisores de $c = 15$ são: $\pm 1,\pm 3,\pm 5,\pm 15$.

Portanto, dividindo cada divisor de $c = 15$ por cada divisor de $a = 3$, encontramos a seguinte lista de candidatos a fatores:

$$\pm \frac{ 1}{ 1},\pm \frac{ 1}{ 3},\pm \frac{ 3}{ 1},\pm \frac{ 3}{ 3},\pm \frac{ 5}{ 1},\pm \frac{ 5}{ 3},\pm \frac{ 15}{ 1},\pm \frac{ 15}{ 3}$$

Agora, todos os candidatos precisam ser testados para ver se são uma solução. O seguinte é obtido a partir do teste de cada candidato:

$$\begin{array}{cccccccc} x & = & \displaystyle -1 &:&    & \displaystyle 3 \left(-1\right)^2-2 \left(-1\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 1 &:&    & \displaystyle 3 \left(1\right)^2-2 \left(1\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 16 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{1}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \left(\frac{1}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{44}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -3 &:&    & \displaystyle 3 \left(-3\right)^2-2 \left(-3\right)+15 & = & \displaystyle 48 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 3 &:&    & \displaystyle 3 \left(3\right)^2-2 \left(3\right)+15 & = & \displaystyle 36 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -5 &:&    & \displaystyle 3 \left(-5\right)^2-2 \left(-5\right)+15 & = & \displaystyle 100 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 5 &:&    & \displaystyle 3 \left(5\right)^2-2 \left(5\right)+15 & = & \displaystyle 80 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -\frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(-\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(-\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle \frac{80}{3} \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle \frac{5}{3} &:&    & \displaystyle 3 \left(\frac{5}{3}\right)^2-2 \left(\frac{5}{3}\right)+15 & = & \displaystyle 20 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle -15 &:&    & \displaystyle 3 \left(-15\right)^2-2 \left(-15\right)+15 & = & \displaystyle 720 \ne 0 \\\\ x & = & \displaystyle 15 &:&    & \displaystyle 3 \left(15\right)^2-2 \left(15\right)+15 & = & \displaystyle 660 \ne 0 \\\\ \end{array}$$

Então, nenhum dos candidatos é raiz e, portanto, esse método não permite encontrar os fatores.

Usando a fórmula quadrática

Como não conseguimos encontrar as raízes usando os potenciais candidatos racionais, usamos apenas a fórmula quadrática. Obtém-se o seguinte:

Para uma equação quadrática da forma $a x^2 + bx + c = 0$, as raízes são calculadas usando a seguinte fórmula:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Neste caso, temos que a equação que precisamos resolver é $\displaystyle 3x^2-2x+15 = 0$, o que implica que os coeficientes correspondentes são:

$$a = 3$$ $$b = -2$$ $$c = 15$$ $$\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(15\right) = -176$$

Como neste caso obtemos o discriminante $\Delta = \displaystyle -176 < 0$, que é negativo, sabemos que a equação dada tem duas raízes complexas conjugadas diferentes.

Agora, inserindo esses valores na fórmula das raízes, obtemos:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{\left(-2\right)^2-4\left(3\right)\left(15\right)}}{2\cdot 3} = \displaystyle \frac{2 \pm \sqrt{-176}}{6}$$

então, descobrimos que:

$$\displaystyle x_1 = \frac{2 - i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}$$ $$\displaystyle x_2 = \frac{2 + i \sqrt{176}}{6} = \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}$$

Portanto, a equação dada $\displaystyle 3x^2-2x+15=0$ tem duas raízes complexas conjugadas diferentes, que são $x_1 = \displaystyle \frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}$ e $x_2 = \displaystyle \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}$.

Portanto, dado que existem duas raízes complexas, a função quadrática dada tem a seguinte fatoração complexa:

$$\displaystyle 3x^2-2x+15 = \displaystyle 3 \left(x-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)\left(x-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{11}\right)$$

Exemplo: como resolver equações de segundo grau

Resolva a seguinte equação quadrática por fatoração: $x^2 +3x +\frac{9}{4} = 0$.

Solução:

Temos a seguinte expressão quadrática: $\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}$.

Neste caso, temos que a equação que precisamos tentar fatorar é $\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0$, o que implica que os coeficientes correspondentes são:

$$a = 1$$ $$b = 3$$ $$c = \frac{9}{4}$$

Agora, precisamos encontrar os números inteiros que dividem $a$ e $c$, que serão usados para construir nossos candidatos a fatores.

Os divisores de $a = 1$ são: $\pm 1$.

O coeficiente $c = \frac{9}{4}$ não possui divisores inteiros.

Portanto, não podemos usar esse método para encontrar fatores.

Usando a fórmula quadrática

Como não conseguimos encontrar as raízes usando os potenciais candidatos racionais, usamos apenas a fórmula quadrática. Obtém-se o seguinte:

Para uma equação quadrática da forma $a x^2 + bx + c = 0$, as raízes são calculadas usando a seguinte fórmula:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Neste caso, temos que a equação que precisamos resolver é $\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = 0$, o que implica que os coeficientes correspondentes são:

$$a = 1$$ $$b = 3$$ $$c = \frac{9}{4}$$ $$\Delta = b^2 - 4ac = \displaystyle \left( 3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(\frac{9}{4}\right) = 0$$

Como neste caso obtemos o discriminante $\Delta = \displaystyle 0 = 0$, que é zero, sabemos que a equação possui apenas uma raiz real.

Agora, inserindo esses valores na fórmula das raízes, obtemos:

$$x = \displaystyle \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{\left(3\right)^2-4\left(1\right)\left(\frac{9}{4}\right)}}{2\cdot 1} = \displaystyle \frac{-3 \pm \sqrt{0}}{2}$$

então, descobrimos que:

$$x = -\frac{3}{2}$$

Portanto, a equação dada $\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4}=0$ tem apenas uma raiz real, que é $x = \displaystyle -\frac{3}{2}$.

Portanto, dado que existe apenas uma raiz real, dada função quadrática pode ser fatorada como

$$\displaystyle x^2+3x+\frac{9}{4} = \displaystyle \left(x+\frac{3}{2}\right)^2$$

Mais calculadoras quadráticas

A importância de expressões quadráticas não pode ser exagerada. resolvendo equações quadráticas será uma de suas ferramentas mais poderosas ao trabalhar em álgebra em todos os tipos de aplicações. .

O gráfico da função quadrática tem a forma de uma parábola, que tem simetrias de todo o género ou notáveis, com uma vértice que representa um ponto notável na parábola que a "suporta", e uma orientação que é definida por sua abertura para cima ou para baixo.