Mais sobre esta lei dos cossenos

Esta calculadora permite resolver um triângulo usando a Lei dos Cossenos. Para dar à calculadora o que ela precisa, você precisa fornecer dois lados e o ângulo entre eles.

Depois que informações válidas forem fornecidas para começar, basta clicar em "Calcular" e as etapas do cálculo serão exibidas.

O que é a lei dos cossenos?

A Lei dos Cossenos é uma identidade trigonométrica fundamental usada para encontrar os comprimentos dos lados ou ângulos em qualquer triângulo, não apenas triângulos retângulos. Ela estende o teorema de Pitágoras a todos os tipos de triângulos ao incorporar o cosseno de um de seus ângulos.

Você pode olhar para a Lei dos Cossenos como um Teorema de Pitágoras generalizado, que assume exatamente a mesma forma quando o ângulo correspondente é de 90 graus, porque o cosseno de 90 graus é zero.

Compreendendo a fórmula da lei dos cossenos

A Lei dos Cossenos tem três fórmulas principais, ou melhor dizendo, três expressões diferentes da fórmula, cada uma correspondendo a um lado do triângulo:

• \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)
• \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\)
• \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\)

Aqui, \(a\), \(b\) e \(c\) são os lados do triângulo, e \(A\), \(B\) e \(C\) são os ângulos opostos a esses lados, respectivamente.

Observe que você pode ter visto uma versão da Lei dos Cossenos sendo como \(c^2 = a^2 + b^2 + 2ab \cos(C)\), mas isso é um tipo de engenhoca desnecessária para ângulos obtusos. Realmente não é necessário quebrar a regra com casos diferentes, quando o sinal de \(cos(C)\) responde perfeitamente por todos os casos possíveis.

Como usar a lei dos cossenos

Passos para calcular um lado

Aqui estão os passos para encontrar o comprimento de um lado usando a Lei dos Cossenos:

• Identifique os lados e ângulos conhecidos em seu triângulo. Você precisa de dois lados e do ângulo formado por esses dois lados.
• Escolha a fórmula que inclui o lado que você quer encontrar. A fórmula escolhida terá o lado faltante no lado esquerdo
• Substitua os valores conhecidos na fórmula.
• Resolva o lado desconhecido.

Quando usar a lei dos cossenos?

A Lei dos Cossenos é particularmente útil quando:

• Você conhece dois lados e o ângulo incluído ( SAS ).
• Você conhece todos os três lados e precisa encontrar um ângulo ( SSS ).
• O triângulo não é retângulo, e você precisa encontrar um lado ou um ângulo.

Exemplos da lei dos cossenos em ação

Aqui estão alguns exemplos práticos que você pode resolver:

• Exemplo 1: Se \(a = 5\), \(b = 6\) e \(C = 60^\circ\), encontre \(c\).
• Exemplo 2: Dados \(a = 7\), \(b = 8\) e \(c = 9\), encontre o ângulo \(A\).

Prova da lei dos cossenos

A Lei dos Cossenos pode ser derivada da Teorema de Pitágoras considerando um triângulo com uma altitude desenhada de um de seus vértices. É mais complexo do que isso, mas um esboço para ele é:

• Construa um triângulo retângulo dentro do triângulo original.
• Use o teorema de Pitágoras neste triângulo menor.
• Relacione o cosseno do ângulo com os lados do triângulo.

Comparando a lei dos cossenos com o teorema de pitágoras

Enquanto o teorema de Pitágoras se aplica apenas a triângulos retângulos, a Lei dos Cossenos:

• Funciona para todos os triângulos.
• Incorpora o cosseno de um ângulo , tornando-o mais versátil.
• Pode ser usado para encontrar ângulos e lados.

Usando a calculadora da lei dos cossenos

Calculadoras online podem simplificar o processo, especialmente nossa calculadora que mostra as etapas do processo:

• Insira os valores conhecidos na calculadora.
• Selecione o lado ou ângulo que deseja encontrar.
• A calculadora fornecerá o resultado com base na fórmula da Lei dos Cossenos.

Quais são as regras da lei dos cossenos?

As regras da Lei dos Cossenos incluem:

• Ela se aplica a qualquer triângulo, não apenas triângulos retângulos. O caso de triângulos retângulos é o caso mais simples para a Lei dos Cossenos.
• O cosseno de um ângulo deve estar entre -1 e 1.
• Quando o ângulo é de 90 graus, a fórmula se simplifica para o teorema de Pitágoras, porque a parte cosseno se torna 0.

Qual equação representa a lei dos cossenos?

Não há UMA equação que represente a Lei dos Cossenos. A equação que representa a Lei dos Cossenos para o lado \(c\) é:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\]

Por outro lado, a equação que representa a Lei dos Cossenos para o lado \(b\) é:

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\]

e a equação que representa a Lei dos Cossenos para o lado \(a\) é:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\]

O que é a regra dos cossenos em termos simples?

Em termos simples, a regra do cosseno afirma que o quadrado de um lado de um triângulo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados menos o dobro do produto desses lados e o cosseno do ângulo incluído.

Como a lei dos cossenos ajuda a resolver triângulos?

A Lei dos Cossenos permite que você:

• Encontre qualquer lado quando você conhece dois lados e o ângulo incluído, como no caso desta calculadora.
• Determine qualquer ângulo quando você conhece todos os três lados. Normalmente você resolve para um lado ao usar a Lei do Cosseno, mas definitivamente poderia resolver para o ângulo.
• Resolva ângulos ou lados em triângulos não retângulos onde o teorema de Pitágoras não se aplica. Na verdade, triângulos não retângulos são o principal uso que você encontrará para ele.

A lei dos cossenos pode ser usada para qualquer triângulo?

Sim, a Lei dos Cossenos pode ser usada para qualquer triângulo, seja ele agudo, reto ou obtuso, tornando-a uma ferramenta versátil em trigonometria. Você pode ter simetrias ou fazer com que seja um triângulo escaleno, a Lei dos Cossenos sempre se aplica.

Às vezes, a Lei dos Cossenos não é suficiente para calcular completamente um triângulo, e talvez seja necessário usar a Lei dos Senos (pense no Triângulo AAS caso).

Quais são as três fórmulas para a lei dos cossenos?

As três fórmulas para a Lei dos Cossenos são:

• \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)\)
• \(a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)\)
• \(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)\)

Observe que essas fórmulas são baseadas na escolha de qualquer um dos lados como o lado oposto. Isso é um pouco diferente quando você está trabalhando com um triângulo retângulo.

Explore mais com calculadoras relacionadas

Compreendendo o lei dos cossenos pode ser bastante aprimorado explorando conceitos trigonométricos relacionados. Por exemplo, se você estiver lidando com ângulos em seus cálculos, poderá encontrar o Fórmula Do Ângulo Duplo útil para simplificar expressões ou resolver equações envolvendo ângulos.

Além disso, a visualização de como o cosseno se comporta em diferentes ângulos pode ser alcançada com nosso Gráfico De Cos calculadora, fornecendo uma representação gráfica que pode ajudar a entender a periodicidade e a amplitude da função.

Ao trabalhar com triângulos, conhecer os lados e ângulos pode muitas vezes levar a cálculos mais complexos. Nosso Calculadora de triângulo com dois ângulos e um lado oposto pode ajudar você a resolver os lados e ângulos restantes, o que é particularmente útil ao aplicar a Lei dos Cossenos em problemas do mundo real. Além disso, para uma gama mais ampla de cálculos trigonométricos, nosso Calculadora Trigonométrica oferece um conjunto abrangente de ferramentas para lidar com diversas identidades e equações trigonométricas.