Calculadora de fórmula de ângulo duplo

Esta calculadora de fórmula de ângulo duplo permitirá que você forneça um certo ângulo em radianos e obtenha todos os valores trigonométricos do ângulo duplo correspondente. Em palavras simples, esta é uma calculadora para calcular coisas como sin(2x) em termos dos valores trigonométricos para x.

Observe que o ângulo precisa ser expresso em radianos. Se você tem em graus, você pode usar isso calculadora de graus para radianos para fazer a conversão.

Um elemento interessante sobre as funções trigonométricas é que existe uma maneira de calcular o valor da função trigonométrica do dobro de um determinado ângulo, usando fórmulas relativamente simples, usando as chamadas fórmulas de ângulo duplo.

Qual é a fórmula para ângulo duplo?

Suponha que temos um ângulo \(\theta\) que é medido em radianos , e o \(2 \theta\) é o ângulo duplo. Em seguida, as seguintes fórmulas de identidades de ângulo duplo são usadas para o ângulo duplo

\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta) \cos(\theta)\] \[\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\] \[\tan(2\theta) = \displaystyle \frac{2\tan(\theta)}{1-\tan^2(\theta)}\]

O legal dessas fórmulas é que, se você conhece os valores trigonométricos de um ângulo \(\theta\), pode usar as fórmulas acima para calcular as fórmulas trigonométricas de \(2\theta\). Então, digamos que você conheça os valores trigonométricos para 30 ^o , então você pode usar as fórmulas acima para calcular os valores trigonométricos para 60 ^o

Estas são as fórmulas que este Calculadora de ângulo duplo fornecerá a você assim que um ângulo válido em radianos for fornecido.

Exemplo de uso de ângulos duplos

Exemplo de fórmula de ângulo duplo: Sabemos que \(\sin(45^o) = \sin(45^o) = \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \). Vamos calcular \(\sin(90^o)\). Observe que \(90^o\) é o dobro do ângulo de \(45^o\), então, usando a fórmula acima

\[\sin(90^o) = \sin(2\cdot 45^o) = 2\sin(45^o) \cos(45^o) =\displaystyle 2 \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{2}{4} = 1\]

Para que você usa o ângulo duplo?

Dissemos que o ângulo duplo pode ser muito útil para fins de cálculo, mas, na verdade, é mais um uso teórico para eles. Quero dizer, as tabelas trigonométricas não são calculadas usando o ângulo duplo a partir de alguns ângulos notáveis, mas usando aproximação de Taylor em vez de.

Fórmulas de ângulo duplo são extremamente úteis em identidades usadas para possibilitar certos cálculos de integrais trigonométricas.

Intimamente relacionados e conceitualmente equivalentes, você pode usar esses meio ângulo fórmulas para calcular o valor trigonométrico do meio ângulo \(\frac{\theta}{2}\) dados os valores trigonométricos de \(\theta\).

Exemplo de cálculo de ângulo duplo (incluindo ângulo duplo tangente)

Pergunta : Use uma fórmula de ângulo duplo para seno, cosseno e tangente, para o ângulo original: \(\theta = \frac{\pi}{8}\).

Solução: Isso é algo que você pode fazer facilmente com esta calculadora de identidades de ângulo duplo. Temos o ângulo \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\) radianos. As seguintes fórmulas de ângulo duplo são usadas para encontrar os valores trigonométricos do ângulo duplo correspondente \(2\theta\).

Pare Eles:

\[ \begin{array}{ccl} \sin(2\theta) & = & \displaystyle \sin(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \sin(\frac{\pi{}}{8}) \cos(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 2 \times 0.383 \times 0.924 \\\\ \\\\ & = & 1 \end{array}\]

Agora para cosseno:

\[ \begin{array}{ccl} \cos(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \cdot \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \cos^2(\frac{\pi{}}{8}) - \sin^2(\frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.924^2 - 0.383^2 \\\\ \\\\ & = & \displaystyle 0.8538 - 0.1467 \\\\ \\\\ & = & 0.707 \end{array}\]

Agora para Tangente:

\[ \begin{array}{ccl} \tan(2\theta) & = & \displaystyle \cos(2 \times \frac{\pi{}}{8}) \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \tan(\frac{\pi{}}{8})}{1-\tan^2(\frac{\pi{}}{8})} \\\\ \\\\ & = & \displaystyle \frac{2 \times 0.414}{1-0.1714} \\\\ \\\\ & = & 0.999 \end{array}\]

Portanto, com base no ângulo fornecido \(\theta = \frac{\pi{}}{8}\) radianos, as expressões de ângulo duplo correspondentes são \(\sin(2\theta) = 1\), \(\cos(2\theta) = 0.707\) e \(\tan(2\theta) = 0.999\).