Gráfico quadrático


Instruções: Use esta calculadora de gráfico quadrático para criar o gráfico de qualquer função quadrática que você fornecer, mostrando todas as etapas. Por favor, digite a função quadrática que deseja representar graficamente na caixa de formulário abaixo.

Insira a função quadrática que deseja representar graficamente (Ex: f(x) = x^2 + 3x + 2, etc.)

Mais sobre este gerador de gráfico quadrático

Esta calculadora de gráfico quadrático permitirá que você gere o gráfico para qualquer função quadrática que você fornecer. Pode ser qualquer função quadrática válida, por exemplo, x^2 - 3x + 1/2, mas você também pode fornecer uma função quadrática que não seja simplificada, como x^2 - 3x - 4 - 1/2 x^2 - 1/5, desde que seja uma função quadrática válida.

Depois de fornecer uma expressão quadrática válida, você pode clicar no botão "Calcular" e o gráfico da função será gerado, mostrando as etapas do cálculo do vértice da parábola e a Eixo de simetria também .

As funções quadráticas têm um papel predominante na álgebra básica, pois são frequentemente usadas no contexto da solução de equações quadráticas e problemas de aplicação. Eles são essencialmente básicos polinômios , que têm muitas propriedades interessantes.

Gráfico Quadrático

Como fazer gráficos de segundo grau?

Fazer um gráfico quadrático é simples, no sentido de que você sabe que TODAS as funções quadráticas terão a forma de uma parábola. Mas ainda existem parábolas infinitas. Precisamos saber um pouco mais para identificar a parábola precisa que representa uma dada função quadrática.

Etapas para encontrar um gráfico de função quadrática

  • Passo 1: Identifique claramente a função quadrática dada e simplifique se necessário
  • Passo 2: Após a simplificação, identifique a função na forma f(x) = ax² + bx + c. Observe que a não pode ser zero
  • Passo 3: Se a > 0, você sabe que o gráfico será uma parábola com concavidade para cima, enquanto se a < 0, você sabe que o gráfico será uma parábola com concavidade para baixo
  • Etapa 4: o eixo de simetria está em x* = -b/(2a), o que indica o 'centro' da parábola
  • Etapa 5: Observe que x* = -b/(2a) é a coordenada x do vértice da parábola e y* = f(x*) = a(x*)² + b(x*) + c é a coordenada y do vértice

Isso deve ser suficiente para ter uma ideia clara sobre o gráfico quadrático correspondente. Um outro passo seria plotar alguns pontos no gráfico, escolhendo diferentes pontos no eixo x e encontrando sua imagem correspondente através da função, de forma a auxiliar o processo de encontrar o gráfico da função .

A fórmula quadrática

É o Fórmula quadrática relacionado com o gráfico de uma função quadrática? Pode apostar! Geometricamente falando, ao resolver a equação quadrática

ax2+bx+c=0a x^2 + bx + c = 0

você obtém as raízes da equação quadrática e, quando as raízes são reais, elas representam os pontos onde a parábola cruza o eixo x.

Um caso especial ocorre quando as raízes são complexas, caso em que a parábola não cruzará o eixo x.

Tipos de gráficos quadráticos

Como mencionamos antes, TODAS as funções quadráticas univariadas serão representadas por parábolas, mas dependendo se a > 0 ou a < 0, as parábolas se abrirão para cima ou para baixo, respectivamente.

Outra distinção dos tipos de parábolas poderia ser para aquelas que são "centradas" (ou seja, as vértice é a origem), e aqueles que não são.

Função Quadrática

Exemplo: gráfico quadrático

Construa o gráfico de: f(x)=13x2+2x3f(x) = \frac{1}{3}x^2 +2x - 3

Solução:

Precisamos representar graficamente a função quadrática fornecida f(x)=13x2+2x3f(x) = \displaystyle \frac{1}{3}x^2+2x-3. Além disso, as coordenadas do vértice serão computadas.

Para uma função quadrática da forma f(x)=ax2+bx+cf(x) = a x^2 + bx + c, a coordenada x do vértice é calculada usando a seguinte fórmula:

xV=b2ax_V = \displaystyle -\frac{b}{2a}

Nesse caso, temos que a função para a qual precisamos encontrar o vértice é f(x)=13x2+2x3f(x) = \displaystyle \frac{1}{3}x^2+2x-3, o que implica que os coeficientes correspondentes são:

a=13a = \frac{1}{3} b=2b = 2 c=3c = -3

Colocando os valores conhecidos de aa e bb na fórmula para a coordenada x do vértice, obtemos:

xV=b2a=2213=3x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a} = \displaystyle -\frac{2}{2 \cdot \frac{1}{3}} = -3

Agora, precisamos inserir o valor de xV=3x_V = \displaystyle -3 na função quadrática, então obtemos:

yV=f(xV)y_V = f(x_V) =13(3)2+2(3)3=13(3)2+2(3)3=91363=363=6 = \frac{1}{3}\cdot \left(-3\right)^2+2\cdot \left(-3\right)-3=\frac{1}{3}\cdot \left(-3\right)^2+2\cdot \left(-3\right)-3=9\cdot\frac{1}{3}-6-3=3-6-3=-6

Portanto, a coordenada x do vértice é xV=3x_V = \displaystyle -3 e a coordenada y do vértice é yV=6y_V = \displaystyle -6. Isso indica que o ponto que representa o vértice é (3,6) \displaystyle \left(-3, -6\right).

O seguinte é obtido graficamente:

Exemplo de Gráfico Quadrático

Exemplo: gráfico quadrático

Gráfico: f(x)=43x2+3x2f(x) = \frac{4}{3}x^2 +3x - 2, que tipo de gráfico quadrático é esse?

Solução: Nesse caso, temos que a função para a qual precisamos encontrar o vértice é f(x)=43x2+3x2f(x) = \displaystyle \frac{4}{3}x^2+3x-2, o que implica que os coeficientes correspondentes são:

a=43a = \frac{4}{3} b=3b = 3 c=2c = -2

Colocando os valores conhecidos de aa e bb na fórmula para a coordenada x do vértice, obtemos:

xV=b2a=3243=98x_V = \displaystyle -\frac{b}{2a} = \displaystyle -\frac{3}{2 \cdot \frac{4}{3}} = -\frac{9}{8}

Agora, precisamos inserir o valor de xV=98x_V = \displaystyle -\frac{9}{8} na função quadrática, então obtemos:

yV=f(xV)y_V = f(x_V) =43(98)2+3(98)2=438164+3(98)2=27162782=5916 = \frac{4}{3}\cdot \left(-\frac{9}{8}\right)^2+3\cdot \left(-\frac{9}{8}\right)-2=\frac{4}{3}\cdot\frac{81}{64}+3\cdot \left(-\frac{9}{8}\right)-2=\frac{27}{16}-\frac{27}{8}-2=-\frac{59}{16}

Portanto, a coordenada x do vértice é xV=98x_V = \displaystyle -\frac{9}{8} e a coordenada y do vértice é yV=5916y_V = \displaystyle -\frac{59}{16}. Isso indica que o ponto que representa o vértice é (98,5916) \displaystyle \left(-\frac{9}{8}, -\frac{59}{16}\right).

O seguinte é obtido graficamente:

Exemplo de Gráfico Quadrático

Mais calculadoras quadráticas

Quase todas as aplicações em Álgebra básica são baseadas na resolução de algum tipo de Equação quadrática , por isso tem um forte propósito pedagógico de aprender sobre isso.

O Fórmula quadrática é um dos objetos ensináveis mais notórios em matemática. Não é que não existam equações cúbicas ou quárticas, é que equações quadráticas são os que podemos explicar facilmente.

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