Fórmula de discriminação

Esta calculadora usará a fórmula discriminante mostrando todas as etapas para uma equação quadrática que você fornecer.

Você precisa fornecer uma equação quadrática válida, algo como 2x²+x-1=0, que já vem simplificado, ou pode fornecer algo que seja uma expressão quadrática válida, mas que precise de simplificação adicional, como 2x²+3x-1 = 3/4x - 4/5.

Assim que uma equação quadrática válida for fornecida, tudo o que você precisa fazer é clicar no botão "Calcular" e todas as etapas do cálculo serão fornecidas a você.

Para o cálculo do discriminante será utilizada a equação quadrática simplificada na forma ax² + bx + c = 0, que indicará de imediato a natureza das raízes: Duas raízes reais, uma raiz real ou duas raízes complexas.

A fórmula discriminante

Como encontrar o discriminante de uma equação quadrática ? Uma vez que você tenha a equação do segundo grau na forma ax² + bx + c = 0, você pode aplicar diretamente a fórmula discriminante:

\[\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac\]

Significado discriminante

Depois de aplicar a fórmula acima e obter um valor \(\Delta\) para o discriminante, qual é o seu significado?

• Passo 1: Se \(\Delta > 0\): Então a equação quadrática tem duas raízes reais diferentes
• Passo 2: Se \(\Delta = 0\): Então a equação quadrática tem apenas uma raiz real
• Passo 3: Se \(\Delta < 0\): Então a equação quadrática tem duas raízes complexas conjugadas

Qual é o significado de duas raízes complexas conjugadas ? Graficamente, é simplesmente uma parábola que não cruza o eixo x.

Por outro lado, duas raízes reais diferentes implicam graficamente que a parábola cruza o eixo x em dois pontos. Um discriminante igual a zero indica que a parábola é tangente ao eixo x.

Por que se preocupar com o discriminante?

O discriminante fornece uma forma fácil de avaliar os tipos de raiz de uma equação quadrática, sem realmente resolvê-la.

Naturalmente, podemos ver que o discriminante aparece literalmente no Fórmula quadrática , por isso está obviamente ligado ao processo de cálculo raízes quadráticas .

Exemplo: cálculo do discriminante

Encontre o discriminante da seguinte equação: \(x^2+ 3x + 10 = 0\)

Solução: Precisamos resolver a seguinte equação quadrática dada \(\displaystyle x^2+3x+10=0\).

Para uma equação quadrática da forma \(a x^2 + bx + c = 0\), o discriminante é calculado usando a seguinte fórmula:

\[\Delta = \displaystyle b^2-4ac\]

Neste caso, temos que a equação que precisamos resolver é \(\displaystyle x^2+3x+10 = 0\), o que implica que os coeficientes correspondentes são:

\[a = 1\] \[b = 3\] \[c = 10\]

Colocando esses valores na fórmula, obtemos:

\[\Delta = b^2-4ac = \displaystyle \left( 3\right)^2 - 4 \cdot \left(1\right)\cdot \left(10\right) = -31\]

Portanto, o discriminante para a equação quadrática dada é \(\Delta = \displaystyle -31 < 0\), que é negativo, e isso indica que a equação dada \(\displaystyle x^2+3x+10=0\) tem duas raízes complexas conjugadas diferentes.

Isso conclui o cálculo do determinante.

Exemplo: cálculo discriminante

Encontre o discriminante da seguinte equação: \(3x^2 - 2x + 4 = 0\)

Solução: Neste caso, como a equação de segundo grau que precisamos resolver é \(\displaystyle x^2+3x+10 = 0\), que está em sua forma simplificada, os coeficientes correspondentes são:

\[a = 3\] \[b = -2\] \[c = 4\]

Colocando esses valores na fórmula acima, descobrimos que:

\[\Delta = b^2-4ac = \displaystyle \left( -2\right)^2 - 4 \cdot \left(3\right)\cdot \left(4\right) = -44 \]

Então, o discriminante para a equação quadrática dada é \(\Delta = \displaystyle -44 < 0\), que é negativo. Portanto, a equação dada \(3x^2 - 2x + 4 = 0\) tem duas raízes complexas conjugadas diferentes.

Isso conclui o cálculo.

Exemplo: significado discriminante

Sem resolver a equação \(2x^2 - 3x - 10 = 0\), indique a natureza de suas raízes.

Solução: Neste caso, precisamos resolver é \(2x^2 - 3x + 1 = 0\), então os coeficientes correspondentes são:

\[a = 2\] \[b = -3\] \[c = -10\]

Colocando esses valores na fórmula do determinante, descobrimos que:

\[\Delta = b^2-4ac = \displaystyle \left( -3\right)^2 - 4 \cdot \left(2\right)\cdot \left(-10\right) = -44 \]

Então, o discriminante para a equação quadrática dada é \(\Delta = 89 > 0\), que é positivo. Portanto, sem resolver a equação, sabemos que a equação dada \(2x^2 - 3x - 10 = 0\) tem duas raízes reais diferentes.

Mais calculadoras quadráticas

Lidando com funções quadráticas e equações é muito comum em álgebra. Calculando raízes de equações quadráticas está intimamente ligado com calculando um discriminante e encontrando o vértice .

Geometricamente, o discriminante indicará o tipo de disposição da parábola que representa a função quadrática e o eixo x.