Fatoração de trinômios

Esta calculadora permitirá fatorar trinômios na forma \(ax^2+bx+c\). Observe que este é um tipo muito específico de trinômio que corresponde essencialmente a uma expressão quadrática.

Depois de fornecer um trinômio válido, você precisará clicar em , basta clicar no botão "Calcular" e você receberá todas as etapas dos cálculos.

O problema de fatorar trinômios é um problema relativamente simples, que em última análise depende da nossa capacidade de resolvendo equações quadráticas , pelo menos para o tipo de trinômios com os quais estamos lidando.

O que é um trinômio

Um trinômio, como indica a parte “tri”, é uma expressão algébrica com três termos. Tecnicamente, algo como \(a+b+c\) é um trinômio, igual a \(a\cdot b\cdot \ c\). Mas geralmente queremos dizer um trinômio aditivo, de modo que o último não se enquadraria na categoria.

Mas, além disso, queremos dizer implicitamente que um trinômio tem termos polinomiais da forma \(d x^k\). A última suposição que faremos é que a maior potência é maior que dois, podemos fatorar um termo para que a maior potência seja 2 (isso é sempre possível com potências sequenciais).

Então, os trionômios com os quais estamos lidando são simplesmente reduzidos à classe de expressões da forma

\[ a x^2 + bx^2 + c \]

Quais são as etapas para fatorar trinômios?

• Passo 1: Identifique o trinômio e certifique-se de que ele atenda aos requisitos para ser um trinômio no sentido da definição acima
• Passo 2: Supondo que o grau mais alto seja 2, o termo tem a forma \(a x^2 + bx^2 + c \), então identifique os coeficientes a, b e c
• Etapa 3: Resolva a equação quadrática \\(a x^2 + bx^2 + c = 0\\). Suponha que \(\alpha\) e \(\beta\) sejam as raízes, então a fatoração trinomial é \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)
• Passo 4: Se o grau mais alto for maior que 2, fatore a maior potência possível e volte para a Etapa 2

Em última análise, a solução para a tarefa de fatorar um trinômio está na sua capacidade de fatorando termos e resolver equações quadráticas .

Podemos ter fator comum de trinômios?

Com base na nossa definição dos trinômios que queremos aceitar para este procedimento, tecnicamente sim, podemos ter um fator comum, que pode ser fatorado. Na verdade, nesta calculadora o trinômio é assumido como tendo a forma \(a x^2 + bx + c\), que em geral não possui fatores comuns.

Mas então, você pode argumentar que \(a x^4 + bx^3 + cx^2\) é um trinômio que tem fatores comuns, e você estaria correto ao dizer isso.

O que acontece é que se pudermos fatorar um fator comum como \(a x^4 + bx^3 + cx^2 = x^2 (a x^2 + bx + c) \), então você acabará com o tipo de trinômio mais básico que estamos usando aqui.

A fatoração trinomial e a fatoração polinomial são iguais?

Mais precisamente, podemos dizer que obtemos um trinômio e o fatoramos, estamos fazendo um fatoração polinomial de um polinômio quadrático (depois de fatorar um termo, se necessário).

A ideia por trás de falar em trinômios em vez de polinômios é enfatizar a estrutura específica da expressão com a qual estamos lidando, na qual temos 3 termos, ao contrário de um polinômio geral que pode ter mais de 3 termos.

Por que usar esta calculadora e não a minha calculadora científica?

Um dos principais motivos é porque esta calculadora de fatoração com etapas mostrará o trabalho relevante que precisa ser feito para chegar às soluções, o que significa que você verá a justificativa de POR QUE encontrou o resultado.

Na próxima seção você verá exemplos de fatoração de trinômios com respostas, um deles usando a fórmula da equação quadrática e outro usando um truque prático para fatorar por agrupamento.

Exemplo de fatoração trinomial

Fatore o seguinte: \(\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4\)

Solução: Observe que podemos fatorar \(x^2\), então

\[[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right)\]

e a parte quadrática pode ser facilmente fatorada como \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2 = \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\), o que leva a:

\[\frac{1}{6}x^2 + \frac{5}{6}x^3 - x^4 = x^2 \left(\frac{1}{6} + \frac{5}{6}x - x^2\right) = x^2 \left(x - \frac{1}{2}\right)\left(x - \frac{1}{3}\right)\)\]

que conclui o cálculo.

Exemplo: fator trinomial

Encontre a fatoração para o seguinte trinômio \( x^2 + 2x + 3 \).

Solução: Neste exemplo mostramos que não se trata apenas da fórmula da equação quadrática e, às vezes, você pode usar alguns atalhos, dependendo da estrutura da equação. Podemos usar fator por agrupamento neste exemplo. Notar que

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 \]

e agrupando os dois primeiros termos e os 2 últimos termos, obtemos:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) \]

mas este último termo pode fatorar x + 3, então obtemos:

\[ x^2 + 2x + 3 = x^2 + 3x -x + 3 = x(x+3) - (x+3) = (x-1)(x+3)\]

que conclui o cálculo.

Calculadoras quadráticas mais úteis

expressões quadráticas são muito importantes em Álgebra porque representam o afastamento mais simples da linearidade e são amplamente utilizados para modelar diferentes tipos de fenômenos.

funções quadráticas têm estruturas específicas que tornam muito simples encontrar suas raízes e encontrar propriedades geométricas interessantes, como o vértice da parábola . Mais ainda, o Fórmula quadrática encontrar raízes da equação quadrática é uma das equações mais icônicas e conhecidas em toda a álgebra