Risolutori Algebra

Calcolatrice polinomiale

Istruzioni: Usa questo calcolatore polinomiale per calcolare e semplificare qualsiasi operazione polinomiale che fornisci, mostrando tutti i passaggi. Si prega di digitare l'espressione polinomiale che si desidera semplificare nella casella del modulo sottostante.

Calcolatrice polinomiale

Questa calcolatrice ti consentirà di eseguire calcoli e semplificazioni polinomiali, di un'espressione polinomiale che fornisci, come 3x^2 - 2/3 x + 1/4 + 5/4 - 3/4 x^2, ecc.

È inoltre possibile fornire espressioni polinomiali più complicate come 2/3 x^2(x - 3/4) + 5/4, a condizione che il risultato sia un'espressione polinomiale valida.

Una volta dato un polinomio valido, puoi cliccare su "Calcola" e ti verranno mostrati i risultati del calcolo e della semplificazione, mostrandoti tutti i passaggi del processo.

I calcoli verranno eseguiti utilizzando il solito Criteri PEMDAS , per la priorità e l'ordine delle operazioni .

Come calcolare i polinomi?

Nonostante il fatto che i polinomi possano sembrare spaventosi, sono abbastanza suscettibili di calcoli facili, considerando la loro natura lineare. Un polinomio generale di grado \(n\) ha la seguente formula

\[f(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + ... + a_n x^n \]

Quali sono i passaggi per eseguire un calcolo polinomiale?

Passaggio 1: identifica l'espressione polinomiale che devi calcolare e semplificare
Passaggio 2: eseguire un controllo di coerenza per trovare segni chiari che la funzione non è polinomiale. Se è così, allora ti fermi
Passaggio 3: espandere e semplificare i termini all'interno dell'espressione polinomiale seguendo la regola PEMDAS
Passaggio 4: espandere e semplificare fino a quando non è possibile eseguire ulteriori semplificazioni

Si osservi che i polinomi hanno proprietà di chiusura molto precise. Cioè, se aggiungi o sottrai polinomi, ottieni anche un polinomio. Inoltre, se moltiplichi i polinomi, anche l'output è un polinomio. Questo non è necessariamente vero per la divisione di polinomi.

Divisione polinomiale

La divisione è un'operazione senza la proprietà di chiusura. Cioè, se dividi due polinomi, il risultato non deve necessariamente essere un polinomio. Potrebbe essere un polinomio, ma non deve necessariamente esserlo.

Ad esempio, dividi il polinomio \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +27\) per il polinomio \(g(x) = x + 3 \), quindi il risultato è un altro polinomio:

\[\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \frac{x^3 + 9x^2 + 27x +27}{x + 3} = x^2 + 6x + 9 \]

Ma poi, se dividi il polinomio \(f(x) = x^3 + 9x^2 + 27x +28\) per il polinomio \(g(x) = x + 3 \), allora il risultato NON è un polinomio.

Perché i polinomi sono importanti?

I polinomi sono un oggetto molto naturale che appare nelle applicazioni. Ad esempio, le equazioni quadratiche sono polinomi di ordine (grado) 2. Quindi, è naturale lavorare con polinomi di grado superiore a 2.

È vero che funzioni quadratiche assumere un ruolo molto più centrale nelle applicazioni in Algebra di base, ma ciò non significa che i polinomi di grado superiore non abbiano un posto preponderante.

Esempio: calcolo di polinomi

Espandi e semplifica quanto segue: \(f(x) = 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\)

Soluzione: Ci viene fornita la seguente espressione: \(\displaystyle 3x^2 - \frac{2}{3} x + \frac{1}{4} + \frac{5}{4} - \frac{3}{4} x^2\).

Si ottiene il seguente calcolo:

\( \displaystyle 3x^2-\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}-\frac{3}{4}x^2\)

Putting together the terms with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\left(3-\frac{3}{4}\right)x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Putting the fractions together and simplifying the terms that were grouped with \(x^2\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{1}{4}+\frac{5}{4}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle \frac{ 1}{ 4}+\frac{ 5}{ 4}=\frac{ 1+5}{ 4}=\frac{ 6}{ 4}=\frac{ 2 \times 3}{ 2 \times 2}=\frac{ \cancel{ 2} \times 3}{ \cancel{ 2} \times 2}=\frac{ 3}{ 2}\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle -\frac{2}{3}x+\frac{9}{4}x^2+\frac{3}{2}\)

Reorganizing/simplifying/expanding the expression

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{9}{4}x^2-\frac{2}{3}x+\frac{3}{2}\)

che conclude il processo di semplificazione.

Esempio: esempio di calcolatrice polinomiale

Calcola quanto segue: \(f(x) = \frac{1}{3} x \left( \frac{5}{4}x - \frac{5}{6}\right)+x\)

Soluzione: Ora abbiamo l'espressione polinomiale: \(\displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\).

Si ottiene la seguente semplificazione:

\( \displaystyle \frac{1}{3}x\left(\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\right)+x\)

Observe that \((\frac{1}{3}x) \cdot (\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}) = \frac{1}{3}x\cdot\frac{5}{4}x-\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{3}x = \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x\), by using the distributive property on each term of the expression on the left, with respect to the terms on the right

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{5}{12}x^2-\frac{5}{18}x+x\)

Aggregating those terms with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \left(- \frac{ 5}{ 18}+1\right)x+\frac{5}{12}x^2\)

Operating the terms that were grouped with \(x\)

\( \displaystyle = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{13}{18}x+\frac{5}{12}x^2\)

E quella gente, è così che trasformi un pasticcio caldo in un pasticcio semi-caldo! La semplificazione è giunta al termine.

Esempio: un altro esempio di calcolatrice polinomiale

Espandi e semplifica \( f(x) = \left(\frac{2}{3}x - \frac{6}{5} \right)+ \frac{2}{5}x + 3 \).

Soluzione: Ora abbiamo \(\displaystyle \left(\frac{2}{3}x-\frac{6}{5}\right)+\frac{2}{5}x+3\).

Vogliamo semplificare:

\( \displaystyle \frac{2}{3}x-\frac{6}{5}+\frac{2}{5}x+3\)

Grouping the terms with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \left(\frac{2}{3}+\frac{2}{5}\right)x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping together numerical values and fractions and simplifying the terms that were grouped with \(x\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+3-\frac{6}{5}\)

Grouping and operating all the integer terms and fractions: \(\displaystyle 3-\frac{ 6}{ 5}=3 \times \frac{ 5}{ 5}-\frac{ 6}{ 5}=\frac{ 3 \times 5-6}{ 5}=\frac{ 15-6}{ 5}=\frac{ 9}{ 5}\)

\( = \,\,\)

\(\displaystyle \frac{16}{15}x+\frac{9}{5}\)

che termina il calcolo.

Altri calcolatori di algebra

I polinomi sono presenti in così tante applicazioni e sono una delle funzioni di base più importanti in Algebra. Uno dei casi particolari di polinomi è il caso di funzioni quadratiche , che sono uno dei polinomi più semplici che troveremo mai.

Puoi fare un sacco di cose con loro: puoi polinomi grafici , trova le sue radici, cerca le simmetrie e tutto il resto, ma l'interpretazione più semplice di tutto ciò che accade per le equazioni quadratiche.