Una calcolatrice di funzioni

Questa calcolatrice ti consentirà di calcolare, semplificare e rappresentare graficamente qualsiasi funzione valida fornita, mostrando tutti i passaggi di semplificazione. Devi fornire una funzione valida alla calcolatrice. Può essere qualcosa di già semplificato come f(x) = 2x + 3, potrebbe essere qualcosa di più complesso che richiede semplificazione, come f(x) = (1/3+1/4)x + x^2 - sin( 1/5+1/6) + 3/4'.

Quando viene fornita una funzione valida, puoi semplicemente fare clic sul pulsante "Calcola" e il processo di semplificazione e rappresentazione grafica della funzione ti verrà mostrato.

Le funzioni sono gli oggetti più importanti in Algebra e Calcolo, e sono in grado di calcolare correttamente e semplificare le espressioni può fare la differenza.

Come calcolare la funzione?

L'idea di calcolare una funzione si basa semplicemente sulla definizione di una funzione, dove per un dato valore \(x\) viene assegnata una 'immagine' che si chiama \(f(x)\).

Nel grafico sottostante puoi vedere come a un valore "x" sull'asse x viene assegnato un punto "f(x)" sull'asse y:

Quindi, l'idea del calcolo di una funzione è ottenere un valore "x" ed essere in grado di calcolare il valore di "f(x)". Ora, a volte questo è possibile per alcuni valori di x, a volte per tutti i valori di x nella linea reale. L'insieme di valori x in cui f(x) può essere calcolato è detto dominio di una funzione.

Quali sono i passaggi per il calcolo di una funzione?

• Passaggio 1: identificare l'espressione che determina la funzione
• Passaggio 2: semplifica la funzione il più possibile, ma fai attenzione alle potenziali divisioni per zero
• Passaggio 3: prendi nota di dove la funzione può e non può essere calcolata

Quindi mentre vai avanti con questo processo di semplificazione , avrai notato tutti i valori in cui la funzione non può essere valutata (se presente). In questo modo, hai trovato indirettamente il dominio della funzione.

Ad esempio, se si dispone di una funzione come f(x) = 2x + 1, indipendentemente dal punto scelto per x, l'espressione '2x + 1' può sempre essere valutata. Ma invece, se hai la funzione f(x) = 1/x, se scegli x = 0 non sarai in grado di calcolare la funzione in x = 0, perché diventerebbe 1/0, e una divisione per zero non è definito.

Come semplificare le funzioni?

Il processo di semplificazione della funzione è proprio come qualsiasi altro semplificazione delle espressioni : si utilizzano i criteri definiti dal Regola PEMDAS effettuare eventuali semplificazioni.

Ma ci sono un paio di avvertimenti quando si usa PEMDAS: dovresti evitare divisioni involontarie per zero o prendere radici quadrate di numeri negativi. Ad esempio, considera la funzione

\[ f(x) = \displaystyle\frac{2x}{x}\]

Potresti pensare, beh, cancellerò x, e poi otterrò:

\[\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}} = 2\]

Ma così facendo commetteresti un errore, perché tale cancellazione di x non può avvenire quando x = 0. Quello che potresti fare è scrivere esplicitamente

\[\displaystyle f(x) = \displaystyle \frac{2\cancel{x}}{\cancel{x}} = 2\]

per \(x \ne 0\) e undefined per \(x = 0\).

Quali sono i passaggi per semplificare?

• Passaggio 1: identifica la funzione fornita e assicurati che sia un'espressione simbolicamente valida
• Passaggio 2: semplifica il più possibile i termini utilizzando la regola PEMDAS, facendo attenzione a non ottenere divisioni per zero o radici quadrate negative
• Passaggio 3: prendere nota di quei punti in cui la funzione non può essere valutata. Il dominio della funzione sarà il complemento di quei punti nella retta reale

spesso, è abbastanza facile individuare i punti in cui potrebbe esserci un problema nella valutazione della funzione, mediante una semplice ispezione della struttura della funzione.

Puoi calcolare una funzione dai punti?

Dipende. Viene chiamato il processo di ricerca di una funzione da determinati punti interpolazione . Ora, per un dato insieme di punti, ci sarà più di una funzione che passa attraverso quei punti, quindi in un certo senso, dare punti da solo non determinerà necessariamente UNA funzione.

Ora, l'aggiunta di determinati vincoli potrebbe rendere unica la determinazione. Ad esempio, per due punti dati, ce n'è solo uno funzione lineare (lineare affine, per essere più precisi) che li attraversa. O dati tre punti qualsiasi, ce n'è solo uno funzione quadratica che li attraversa.

Esempio: calcolo della funzione

Calcolo e grafico della funzione: \(f(x) = \frac{1}{3}x + \frac{5}{4}x^2 - \frac{5}{6}\)

Soluzione: E' stata fornita la seguente funzione: \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x+\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{6}\), per la quale dobbiamo semplificare e costruire il suo grafico.

Passaggio 0: In questo caso, dobbiamo prima semplificare la funzione data \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{3}x+\frac{5}{4}x^2-\frac{5}{6} \), e per farlo notiamo che:

Si ottiene il seguente grafico per \(\displaystyle f(x)=\frac{5}{4}x^2+\frac{1}{3}x-\frac{5}{6}\) sull'intervallo \([-5, 5]\):

Esempio: esempio di calcolatrice di funzioni

Calcola il dominio della seguente funzione: \(f(x) = \displaystyle \frac{x+1}{x^2-1}\)

Soluzione: La funzione fornita \(\displaystyle f(x)=\frac{x+1}{x^2-1}\) può essere semplificata come segue:

\[ f(x) = \displaystyle \frac{x+1}{x^2-1} = \displaystyle \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \displaystyle \frac{1}{x-1} \]

per quando \(x \ne 1\). Quindi, il dominio della funzione è \((-\infty, 1) \cup (1,\infty)\). Per la funzione sull'intervallo \([-5, 5]\) si ottiene il seguente grafico:

Esempio: un altro esempio di calcolatrice di funzioni

Semplificare e rappresentare graficamente \( f(x) = \left(\frac{2}{3}x^2 \times \frac{6}{5} \right)+ e^{-x/10} + 2x^2 \).

Soluzione: Ci viene fornito: \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^2\cdot \frac{6}{5}+e^{\left(-1\right)x/10}+2x^2\). Ora, per semplificare la funzione data \(\displaystyle f(x)=\frac{2}{3}x^2\cdot \frac{6}{5}+e^{\left(-1\right)x/10}+2x^2 \), facciamo:

Pertanto, si ottiene il seguente grafico per \(\displaystyle f(x)=\frac{14}{5}x^2+e^{\left(-1/10\right)x}\) sull'intervallo \([-5, 5]\):

Altri calcolatori di funzioni

L'idea di funzione è centrale nell'algebra e nel calcolo. Ci sono molte cose che puoi fare con le funzioni. Una delle principali abilità che puoi sviluppare è quella di sentirti a tuo agio espressioni semplificative , in modo da ridurre la funzione data in una più semplice.

Assicurati solo di non essere felice di innescare e finire per cancellare zeri e prendere radici quadrate di numeri negativi.

Inoltre, potresti voler solo rappresentare graficamente una funzione , in modo da avere un'idea migliore di come appare la funzione e quali sono le sue proprietà principali.