Il calcolatore del gradiente

Questo calcolatore del gradiente con passaggi ti aiuterà a trovare il vettore del gradiente di una data funzione multivariata che fornisci. Questa funzione deve essere una funzione valida e differenziabile con 2 o più variabili.

La funzione che fornisci deve avere una definizione completa del nome e della funzione della variabile, ad esempio f(x, y) = x^2 + y^2 o f(x,y,z) = xy+z*sin (xi), ecc.

Una volta fornita una funzione multivariabile valida, non resta che cliccare sul pulsante "Calcola", in modo da ottenere tutti i passaggi mostrati.

I gradienti rappresentano l'estensione naturale delle derivate per la situazione multivariabile, in cui il tasso di variazione è definito meglio da un vettore che da un numero.

Qual è il gradiente

In termini semplici, il gradiente è un vettore che contiene tutte le derivate parziali del primo ordine di una funzione multivariabile $f$. Quindi, per una funzione di due variabili $f(x, y)$, il suo gradiente sarebbe un vettore bidimensionale $\nabla f(x, y) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$.

Allo stesso modo, per una funzione di tre variabili $f(x, y, z$, il suo gradiente sarebbe un vettore tridimensionale $\nabla f(x, y, z) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$, e così via.

Passi per il calcolo del gradiente

• Fase 1: Identifica la funzione f con cui vuoi lavorare e identifica il numero di variabili coinvolte
• Passo 2: Trova il primo ordine Derivata parziale rispetto a ciascuna delle variabili
• Smusso 3: Costruisci il gradiente come il vettore che contiene tutte quelle derivate parziali del primo ordine trovate nel passaggio 2

Facoltativamente, puoi semplificare, se possibile, dopo aver completato il passaggio 3. Quindi, con il gradiente, hai la versione di qual è la derivata per una funzione univariata, in questo caso per una funzione multivariata.

Applicazioni del gradiente

Come nel caso delle funzioni univariate quando cerchiamo punti critici dobbiamo trovare i punti in cui la derivata è zero, per le funzioni multivariate dobbiamo cercare punti su cui il gradiente è uguale a zero per trovare punti critici.

Inoltre, l'equivalente dei test della derivata seconda si presenta sotto forma della regola hessiana per le funzioni multivariate.

Suggerimenti e trucchi

Ricorda che il Pendenza è definito per funzioni multivariate, con due o più variabili. Inoltre, tieni presente che il gradiente è un vettore, in cui ciascuno dei componenti è una funzione. Più precisamente, ciascuno dei suoi componenti è a Derivata parziale di primo ordine.

Per controllare il tuo lavoro, non dimenticare che il gradiente è un vettore con dimensione uguale al numero di variabili indipendenti definite nella funzione.

Esempio: calcolatore gradiente

Trova il gradiente associato alla funzione : $f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$

Soluzione: Consideriamo la seguente funzione multivariata: $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$, quindi dobbiamo calcolarne il gradiente.

Differenziazione rispetto a $x$

Differenziazione rispetto a $y$

Differenziazione rispetto a $z$

Conclusione: Pertanto, possiamo concludere che il gradiente della funzione data $\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$ è uguale a:

$$\nabla f = \left(2x,2y,2z\right)$$

Esempio di calcolo del gradiente

Per la seguente funzione: $f(x, y) = xy$, trova il suo gradiente.

Soluzione: Per questo esempio abbiamo una funzione di due variabili x e y: $\displaystyle f(x,y)=xy$.

Innanzitutto, differenziando rispetto a x

Ora, differenziare rispetto a y

Conclusione: Otteniamo direttamente che il gradiente della funzione $\displaystyle f(x,y)=xy$ è:

$$\nabla f = \left(y, x\right)$$

Altri esempi di gradiente

Calcolare il gradiente corrispondente di $f(x, y) = x^2 - y^2 - xy$.

Soluzione: Infine, in questo esempio è necessario analizzare la seguente funzione: $\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy$. Poiché è una funzione multivariata, ha senso calcolarne il gradiente.

Passo 2: Trova la derivata rispetto a $x$

Passo 2: Trova la derivata rispetto a $y$

Conclusione: Pertanto, possiamo concludere che il gradiente della funzione data $\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy$ è uguale a:

$$\nabla f = \left(2x-y,-x-2y\right)$$

Più calcolatori derivati

Usare un calcolatore derivato può sicuramente semplificarti la vita in quanto ti consentirà di tenere traccia di tutte le Regole derivate .

La maggior parte del regole di differenziazione utilizzati per le funzioni univariate hanno il loro equivalente per le funzioni multivariate. In questo modo, il Regola Di Derivazione , Regola Del Prodotto e Regola Del Quoziente funzionerà anche per la funzione multivariata, tenendo presente le giuste dimensioni.