Il calcolatore del gradiente

Questo calcolatore del gradiente con passaggi ti aiuterà a trovare il vettore del gradiente di una data funzione multivariata che fornisci. Questa funzione deve essere una funzione valida e differenziabile con 2 o più variabili.

La funzione che fornisci deve avere una definizione completa del nome e della funzione della variabile, ad esempio f(x, y) = x^2 + y^2 o f(x,y,z) = xy+z*sin (xi), ecc.

Una volta fornita una funzione multivariabile valida, non resta che cliccare sul pulsante "Calcola", in modo da ottenere tutti i passaggi mostrati.

I gradienti rappresentano l'estensione naturale delle derivate per la situazione multivariabile, in cui il tasso di variazione è definito meglio da un vettore che da un numero.

Qual è il gradiente

In termini semplici, il gradiente è un vettore che contiene tutte le derivate parziali del primo ordine di una funzione multivariabile \(f\). Quindi, per una funzione di due variabili \(f(x, y)\), il suo gradiente sarebbe un vettore bidimensionale \(\nabla f(x, y) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)\).

Allo stesso modo, per una funzione di tre variabili \(f(x, y, z\), il suo gradiente sarebbe un vettore tridimensionale \(\nabla f(x, y, z) = \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)\), e così via.

Passi per il calcolo del gradiente

• Fase 1: Identifica la funzione f con cui vuoi lavorare e identifica il numero di variabili coinvolte
• Passo 2: Trova il primo ordine Derivata parziale rispetto a ciascuna delle variabili
• Smusso 3: Costruisci il gradiente come il vettore che contiene tutte quelle derivate parziali del primo ordine trovate nel passaggio 2

Facoltativamente, puoi semplificare, se possibile, dopo aver completato il passaggio 3. Quindi, con il gradiente, hai la versione di qual è la derivata per una funzione univariata, in questo caso per una funzione multivariata.

Applicazioni del gradiente

Come nel caso delle funzioni univariate quando cerchiamo punti critici dobbiamo trovare i punti in cui la derivata è zero, per le funzioni multivariate dobbiamo cercare punti su cui il gradiente è uguale a zero per trovare punti critici.

Inoltre, l'equivalente dei test della derivata seconda si presenta sotto forma della regola hessiana per le funzioni multivariate.

Suggerimenti e trucchi

Ricorda che il Pendenza è definito per funzioni multivariate, con due o più variabili. Inoltre, tieni presente che il gradiente è un vettore, in cui ciascuno dei componenti è una funzione. Più precisamente, ciascuno dei suoi componenti è a Derivata parziale di primo ordine.

Per controllare il tuo lavoro, non dimenticare che il gradiente è un vettore con dimensione uguale al numero di variabili indipendenti definite nella funzione.

Esempio: calcolatore gradiente

Trova il gradiente associato alla funzione : \(f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\)

Soluzione: Consideriamo la seguente funzione multivariata: \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\), quindi dobbiamo calcolarne il gradiente.

Differenziazione rispetto a \(x\)

Differenziazione rispetto a \(y\)

Differenziazione rispetto a \(z\)

Conclusione: Pertanto, possiamo concludere che il gradiente della funzione data \(\displaystyle f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 \) è uguale a:

\[ \nabla f = \left(2x,2y,2z\right)\]

Esempio di calcolo del gradiente

Per la seguente funzione: \(f(x, y) = xy\), trova il suo gradiente.

Soluzione: Per questo esempio abbiamo una funzione di due variabili x e y: \(\displaystyle f(x,y)=xy\).

Innanzitutto, differenziando rispetto a x

Ora, differenziare rispetto a y

Conclusione: Otteniamo direttamente che il gradiente della funzione \(\displaystyle f(x,y)=xy \) è:

\[ \nabla f = \left(y, x\right)\]

Altri esempi di gradiente

Calcolare il gradiente corrispondente di \( f(x, y) = x^2 - y^2 - xy \).

Soluzione: Infine, in questo esempio è necessario analizzare la seguente funzione: \(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy\). Poiché è una funzione multivariata, ha senso calcolarne il gradiente.

Passo 2: Trova la derivata rispetto a \(x\)

Passo 2: Trova la derivata rispetto a \(y\)

Conclusione: Pertanto, possiamo concludere che il gradiente della funzione data \(\displaystyle f(x,y)=x^2-y^2-xy \) è uguale a:

\[ \nabla f = \left(2x-y,-x-2y\right)\]

Più calcolatori derivati

Usare un calcolatore derivato può sicuramente semplificarti la vita in quanto ti consentirà di tenere traccia di tutte le Regole derivate .

La maggior parte del regole di differenziazione utilizzati per le funzioni univariate hanno il loro equivalente per le funzioni multivariate. In questo modo, il Regola Di Derivazione , Regola Del Prodotto e Regola Del Quoziente funzionerà anche per la funzione multivariata, tenendo presente le giuste dimensioni.