En savoir plus sur cette calculatrice matricielle inversible avec étapes

Le concept d'inverse de matrice apparaîtra dans tant de contextes en algèbre. Premièrement, pour les matrices, l'idée est de pouvoir les faire fonctionner de la même manière que nous le ferions avec des nombres. Et en fait il y a raisonnablement opérations de somme , soustraction et multiplication de matrices .

Mais qu'en est-il de la "division" des matrices ? Lorsque nous avons un nombre, 3, par exemple, je peux définir l'inverse (multiplicatif) de ce nombre, que je pourrais écrire \(3^{-1}\), ou plus communément \(\displaystyle \frac{1}{3}\).

Une propriété cruciale de cet inverse est que, lorsqu'il est multiplié par le nombre d'origine, il vous donne 1, c'est \(3 \cdot \displaystyle \frac{1}{3} = 1\).

Comment identifier et matrice inversible

• Trouver que son déterminant est différent de zéro
• Obtenez son forme d'échelon de ligne et obtenir une matrice diagonale sans zéros
• Trouvez que le RREF de la matrice est l'identité

Comment définir l'inverse d'une matrice ?

Pour les matrices, le rôle du "1" est joué par la matrice identité \(I\), et étant donné une matrice \(A\), on dira que \(A^{-1}\) est l'inverse de \(A\) si \(A A^{-1} = I = A^{-1} A\).

Autrement dit, l'inverse d'une matrice \(A\) donnée est une matrice qui a la propriété que multiplier cette matrice par l'original , conduit à la matrice identité I.

Comment calcule-t-on la matrice inverse ?

Il existe de très nombreuses façons différentes de calculer l'inverse d'une matrice \(A\) donnée. L'une des méthodes les plus utilisées est la formule adjointe , qui repose sur le calculateur de tout un tas de déterminants de sous-matrices obtenus en supprimant une ligne et une colonne de \(A\).

Notez que cette calculatrice inverse vous donne également la possibilité de calculer l'inverse en utilisant la méthode de réduction gaussienne pour calculer la forme d'échelon de ligne réduite d'une matrice augmentée.

Il existe également la méthode du pivotement pour convertir la matrice « XYZA » initiale en l'identité à l'aide de matrices élémentaires, tout en gardant trace de la multiplication de ces matrices élémentaires, qui s'avère être l'inverse.

\[ E_1 E_2 \cdots E_k A = I \Rightarrow E_1 E_2 \cdots E_k = A^{-1}\]

Il existe également des méthodes d'inversibilité basées sur certaines décompositions, et finalement, les matrices avec des structures utiles spécifiques peuvent être traitées plus rapidement en termes de recherche de leur inverse à l'aide de méthodes spécialisées, applicables uniquement à certaines structures.

Quelle est la formule de la matrice inverse ?

En utilisant la formule adjointe, on trouve que la formule de l'inverse d'une matrice \(A\) est :

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A)\]

A première vue, cela semble simple ! Mais ce n'est pas tellement le cas lorsque la taille de la matrice est grande. En effet, la formule ci-dessus vous dit que pour trouver l'inverse, vous devez calculer le déterminant de la matrice, et vous devez également calculer la matrice adjointe.

Contrairement à ce que les apparences peuvent suggérer, cela pourrait être très laborieux avec la taille de la matrice est grande (comme \(n > 4\)). Donc, c'est bien que nous ayons une formule compacte, mais cela ne signifie pas nécessairement qu'elle ne demandera pas beaucoup de main-d'œuvre.

Comment pouvez-vous inverser une matrice 2x2 ?

Tout d'abord, vous devez vous assurer que \(\det(A) \ne 0\). Supposons que nous ayons une matrice 2x2, nous utiliserons la formule adjointe. Laisser

\[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\]

donc en utilisant la formule adjointe on obtiendrait

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Pour la matrice générale 2x2 \(A\) son déterminant est

\[ \det(A) = ad - bc\]

De plus, la matrice des cofacteurs est

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} d & (-1)^{1+2} c \\\\ (-1)^{2+1} b & (-1)^{2+2} a \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} d & -c \\\\ -b & a \end{bmatrix}\]

Alors maintenant, nous devons transposer la matrice \(C\) :

\[ C^T = \begin{bmatrix} d & -c \\ -b & a \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Donc finalement, nous avons la formule pour l'inverse :

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}\]

Assez facile, hein ? Vous voulez essayer pour 3x3?

Comment trouver l'inverse d'une matrice 3x3 ?

La première exigence, comme pour toutes les matrices, est de calculer le déterminant et de s'assurer que \(\det(A) \ne 0\). Ensuite, nous devons rappeler la formule adjointe générique

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

où \(C\) est la matrice des cofacteurs. Si vous écriviez ceci explicitement, vous obtiendriez quelque chose comme ceci : pour \(A\) une matrice 3x3 générique :

\[ A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\]

nous obtiendrions

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T\]

Pour la matrice générale 3x3 \(A\) son déterminant est

\[ \det(A) = a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e)\]

De plus, la matrice des cofacteurs est

\[ C = \begin{bmatrix} (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} e & f\\\\ h& i \end{vmatrix} & (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} d & f\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} d & e\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} b & c \\\\ h & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ g & i \end{vmatrix} & (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ g & h \end{vmatrix} \\\\ (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} b & c\\\\ e & f \end{vmatrix} & (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} a & c\\\\ d& f \end{vmatrix} & (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} a & b\\\\ d & e \end{vmatrix} \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & - (di - gf) & dh - ge \\ - (bi - hc) & ai - gc & - (ah - gb) \\ bf - ec & - (af-dc) & ae - db \end{bmatrix}\] \[ = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}\]

Alors maintenant, nous devons transposer la matrice \(C\) :

\[ C^T = \begin{bmatrix} ei-fh & gf - di & dh - ge \\ hc - bi & ai - gc & gb - ah \\ bf - ec & dc - af & ae - db \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix}\]

Donc finalement, nous avons la formule pour l'inverse :

\[ A^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\det(A)} C^T = \displaystyle \frac{1}{a(e i - hf) - b(d i - g f) + c(d h - g e))} \begin{bmatrix} ei - fh & hc - bi & bf - ec \\ gf - di & ai - gc & dc - af \\ dh - ge & gb - ah & ae - db \end{bmatrix} \]

Prêt à mémoriser ça ? Bien sûr que non. Pas que vous deviez vraiment le faire. Ceci n'est qu'un aperçu de la complexité des choses lorsque vous essayez d'obtenir une formule générale pour une simple matrice 3x3. Cela devient vraiment désordonné et plutôt inutile pour \(n > 3\).

Ainsi, il est beaucoup plus pratique d'appliquer un ensemble d'étapes pour trouver l'inverse :

Quelles sont les étapes à suivre pour calculer l'inverse d'une matrice ?

Étape 1: Calculez le déterminant de la matrice donnée A. Notez que cela peut nécessiter beaucoup de calculs pour les grandes matrices, alors utilisez-le pour calculer le déterminant par la ligne/colonne avec le plus de zéros.

Étape 2: Calculer la matrice cofacteur associée à la matrice A. Il faut la calculer composante par composante, en calculant le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la ligne i et la colonne j, multiplié par le signe \((-1)^{i+j}\). Ici encore, lors du calcul des sous-déterminants, assurez-vous de choisir la ligne/colonne avec le plus de zéros.

Étape 3: Une fois que vous avez le déterminant de la matrice d'origine et la matrice des cofacteurs, divisez chaque composant de la matrice des cofacteurs par le déterminant, et le résultat est finalement la matrice inverse.

Comment utiliser cette calculatrice inverse

1. Spécifiez la taille de la matrice
2. Tapez les nombres qui déterminent la matrice
3. Sélectionnez la méthode que vous préférez utiliser pour calculer l'inverse : "Formule adjointe" ou "Forme d'échelon de ligne réduite"
4. Cliquez sur "Calculer l'inverse"

Exemple : Calcul de l'inverse d'une matrice donnée

Question: Considérez la matrice suivante :

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Trouvez son inverse à l'aide de la formule adjointe.

Solution: Nous devons calculer l'inverse d'une matrice \(3 \times 3\) qui a été fournie.

Étape 1 : Calculer le déterminant de la matrice

En utilisant la formule du sous-déterminant, nous obtenons :

\[ \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) - 2 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) \right) + 1 \cdot \left( 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) \right)\] \[ = 1 \cdot \left( -3 \right) - 2 \cdot \left( -2 \right) + 1 \cdot \left( 1 \right) = 2\]

Depuis \(\det(A) = 2 \ne 0\), on conclut que la matrice est inversible, et on peut continuer avec le calcul de l'inverse de la matrice \(A\) donnée.

Étape 2 : Calculer la matrice des cofacteurs

Nous calculons d'abord la matrice des mineurs. Nous avons que, par définition, la matrice des mineurs \(M\) est définie par la formule

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

où dans ce cas \( A^{i,j}\) est la matrice \(A\) après suppression de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\).

Par conséquent, et sur la base de la matrice \(A\) fournie, nous obtenons les coefficients suivants de la matrice des mineurs :

Pour \(A^{ 1, 1}\) :

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -3\]

Pour \(A^{ 1, 2}\) :

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Pour \(A^{ 1, 3}\) :

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Pour \(A^{ 2, 1}\) :

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Pour \(A^{ 2, 2}\) :

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Pour \(A^{ 2, 3}\) :

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Pour \(A^{ 3, 1}\) :

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 7\]

Pour \(A^{ 3, 2}\) :

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Pour \(A^{ 3, 3}\) :

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -3\]

En résumé, la matrice des mineurs est :

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 7&\displaystyle 2&\displaystyle -3 \end{bmatrix} \]

Maintenant, nous pouvons calculer les éléments de la matrice de cofacteur \(C\) en utilisant la formule

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La formule ci-dessus peut être utilisée directement car les mineurs sont déjà connus. On a

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \left(-3\right)= (-1)^{ 2} \left(-3\right) = -3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \left(-2\right)= (-1)^{ 3} \left(-2\right) = 2\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = 1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 0 = (-1)^{ 4} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \cdot 7 = (-1)^{ 4} \cdot 7 = -7\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 2 = (-1)^{ 5} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-3\right)= (-1)^{ 6} \left(-3\right) = 3\]

En résumé, la matrice des cofacteurs est :

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Étape 3 : Calculer la matrice adjointe à partir de la matrice des cofacteurs

Maintenant, il suffit de transposer la matrice cofacteur que nous avons trouvée pour calculer la matrice adjointe. On a:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -7&\displaystyle -2&\displaystyle 3 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} \]

Étape 4 : Calculer l'inverse à partir de la matrice des cofacteurs

Enfin, nous devons multiplier \(\displaystyle \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2}\) à chaque composant de la matrice adjointe. Donc on obtient :

\[A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} adj(A) = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle -7\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 0&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-3\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-1\right)&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-7\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times2&\displaystyle \frac{1}{2}\times0&\displaystyle \frac{1}{2}\times\left(-2\right)\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times1&\displaystyle \frac{1}{2}\times3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \displaystyle -\frac{3}{2}&\displaystyle -\frac{1}{2}&\displaystyle -\frac{7}{2}\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle \frac{3}{2} \end{bmatrix} \]

ce qui conclut le calcul de l'inverse de la matrice \(A\).