En savoir plus sur cette calculatrice matricielle adjointe.

De la même manière que les cofacteurs, la matrice adjointe est étroitement associée à l'inverse d'une matrice. En effet, la matrice inverse et la matrice adjointe sont des sosies proches.

En toute honnêteté, le concept d'adjoint d'une matrice joue un rôle très important en mathématiques avancées (où au lieu de matrices nous traitons avec des opérateurs linéaires). Mais en mathématiques au collège, les seules fois où vous tomberez probablement sur l'adjoint, c'est quand vous calculer l'inverse d'une matrice en utilisant la formule adjointe.

Comment trouver l'adjoint d'une matrice ?

Tout d'abord, en termes de calcul de l'adjoint d'une matrice, rappelons le matrice des mineurs qui est calculé en calculant le déterminant des sous-matrices formées en supprimant la ième ligne et la jième colonne de la matrice donnée « XYZA ».

Ainsi donc, les mineurs ont été définis comme :

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

Comment accéder à la matrice des cofacteurs ?

La matrice de cofacteurs , \(C\) est obtenu des mineurs en ajoutant certains "signes", et défini comme :

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\]

Enfin, comment arrive-t-on à la matrice adjointe ? Quelle est la formule adjointe ?

Simple! Une fois que vous avez le matrice de cofacteur calculée déjà, il faut transposer la matrice pour obtenir l'adjoint. Concrètement :

\[ adj(A) = C^T \]

Ainsi, afin de faciliter la mémorisation, nous avons décomposé la formule adjointe en 3 étapes : d'abord, vous calculez la matrice des mineurs, puis vous calculez les cofacteurs, puis vous transposez les cofacteurs pour obtenir l'adjoint.

L'adjoint et la transposition sont-ils les mêmes ?

Bien que l'adjoint implique la transposition d'une matrice, en général les matrices adjointe et transposée sont différentes l'une de l'autre.

Comment trouvez-vous l'adjoint d'une matrice 4x4 ou plus?

Le processus de recherche de l'adjoint peut être numériquement considérable, étant donné que vous devez calculer les sous-déterminants \(n^2\), qui peuvent croître rapidement avec \(n \ge 4\).

Exemple de calcul de matrice adjoint

Question: Considérez la matrice suivante

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix}\]

Calculer la matrice adjointe \(adj A\) associée.

Solution:

Nous devons calculer la matrice adjointe de la matrice \(3 \times 3\) qui a été fournie :

Étape 1 : Calculer la matrice des cofacteurs

Nous calculons d'abord la matrice des mineurs. Nous avons que, par définition, la matrice des mineurs \(M\) est définie par la formule

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

où dans ce cas \( A^{i,j}\) est la matrice \(A\) après suppression de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\).

Par conséquent, et sur la base de la matrice \(A\) fournie, nous obtenons les coefficients suivants de la matrice des mineurs :

Pour \(A^{ 1, 1}\) :

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 4 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Pour \(A^{ 1, 2}\) :

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Pour \(A^{ 1, 3}\) :

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 4\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(4 \right) = -2\]

Pour \(A^{ 2, 1}\) :

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 2\]

Pour \(A^{ 2, 2}\) :

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Pour \(A^{ 2, 3}\) :

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Pour \(A^{ 3, 1}\) :

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 4&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 1 \right) - 4 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Pour \(A^{ 3, 2}\) :

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = 0\]

Pour \(A^{ 3, 3}\) :

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 4 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 4 \right) - 2 \cdot \left(3 \right) = 2\]

En résumé, la matrice des mineurs est :

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle 0&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Maintenant, nous pouvons calculer les éléments de la matrice de cofacteur \(C\) en utilisant la formule

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La formule ci-dessus peut être utilisée directement car les mineurs sont déjà connus. On a

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 3 = (-1)^{ 2} \cdot 3 = 3\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 1 = (-1)^{ 3} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-2\right)= (-1)^{ 4} \left(-2\right) = -2\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 2 = (-1)^{ 3} \cdot 2 = -2\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \cdot 0 = (-1)^{ 5} \cdot 0 = 0\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \cdot 2 = (-1)^{ 6} \cdot 2 = -2\]

En résumé, la matrice des cofacteurs est :

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

Étape 2 : Calculer la matrice adjointe à partir de la matrice des cofacteurs

Maintenant, il suffit de transposer la matrice cofacteur que nous avons trouvée pour calculer la matrice adjointe. On a:

\[adj(A) = C^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -1&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle -2 \end{bmatrix} ^T = \begin{bmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle -2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle 0\\[0.6em]\displaystyle -2&\displaystyle 1&\displaystyle -2 \end{bmatrix} \]

ce qui conclut le calcul de la matrice adjointe.