Calculatrice matricielle RREF

La forme d'échelon de ligne réduite est l'un des processus les plus utiles en algèbre linéaire et peut servir à plusieurs fins.

Le RREF est généralement obtenu en utilisant le processus d'élimination gaussienne. En termes d'applications, la forme échelonnée réduite peut être utilisée pour résoudre des systèmes d'équations linéaires , à calculer l'inverse d'une matrice , ou pour trouver des décompositions matricielles utiles

Quelle est la rref d'une matrice ?

L'idée de la forme échelon ligne est de construire systématiquement une matrice équivalente via l'utilisation de matrices élémentaires inversibles pour arriver à une forme échelon ligne, qui est une forme généralisée d'une forme triangulaire.

En utilisant une approche de réduction de ligne, nous pouvons obtenir une matrice dans cette forme d'échelon de ligne, en utilisant pivots non nuls .

Avantages du RREF

• Cette calculatrice RREF réduit la matrice à une forme utile à de nombreuses fins
• Par exemple, si la forme RREF finale de la matrice donnée est la identité , la la matrice est inversible
• En augmentant la matrice d'origine, trouver la forme RREF permet de construire l'inverse à l'aide de matrices élémentaires
• Il fournit un moyen systématique de résoudre des systèmes d'équations linéaires .

Comment calculez-vous le formulaire d'échelon de ligne réduit?

Il existe différentes approches qui sont possibles et que vous pouvez utiliser. Mais l'idée principale est d'utiliser des pivots non nuls pour éliminer toutes les valeurs de la colonne qui sont en dessous du pivot non nul, ce qui est à la base de la procédure appelée élimination gaussienne.

Un des éléments cruciaux sur cette réduction est de savoir si une matrice est dans rref, donc on arrête le processus quand elle l'est.

Les étapes suivantes doivent être suivies :

Étape 1 : Vérifiez si la matrice est déjà sous forme d'échelon de ligne réduit. Si c'est le cas, alors arrêtez, nous avons terminé.

Étape 2 : Regardez la première colonne. Si la valeur de la première ligne n'est pas zéro, utilisez-la comme pivot. Si ce n'est pas le cas, vérifiez la colonne pour un élément non nul et permutez les lignes si nécessaire pour que le pivot soit dans la première ligne de la colonne. Si la première colonne est zéro, passez à la colonne suivante vers la droite, jusqu'à ce que vous trouviez une colonne non nulle.

Étape 3 : Utilisez le pivot pour éliminer toutes les valeurs non nulles sous le pivot.

Étape 4 : Normalise la valeur du pivot à 1.

Étape 5 : Utilisez le pivot pour éliminer toutes les valeurs non nulles au-dessus du pivot.

Étape 6 : Après cela, si la matrice n'est toujours pas sous forme d'échelon de ligne, déplacez-vous d'une colonne vers la droite et d'une ligne en dessous pour rechercher le pivot suivant.

Étape 7 : Répétez le processus, comme ci-dessus. Cherchez un pivot. Si aucun élément n'est différent de zéro à la nouvelle position de pivot ou en dessous, recherchez à droite une colonne avec un élément non nul à la position de pivot ou en dessous, et permutez les lignes si nécessaire. Ensuite, éliminez les valeurs sous le pivot.

Étape 7 : Continuez le processus de pivotement jusqu'à ce que la matrice soit sous forme réduite d'échelon de ligne.

Comment calcule-t-on l'échelon de ligne réduit sur une calculatrice ?

Toutes les calculatrices ne procéderont pas à l'élimination de Gauss-Jordan, mais certaines le font. En règle générale, il vous suffit de saisir la matrice correspondante pour laquelle vous souhaitez mettre sous forme RREF.

Observez que pour avoir une forme d'échelon de ligne réduite, vous devez également avoir des zéros AU-DESSUS du pivot. Si vous n'en avez pas besoin, vous pouvez utiliser ceci calculateur de formulaire d'échelon de ligne , qui ne réduit pas les valeurs au-dessus du pivot

Cette calculatrice vous permettra de définir une matrice (avec n'importe quel type d'expression, comme des fractions et des racines, pas seulement des nombres), puis toutes les étapes seront montrées du processus pour arriver à la forme finale d'échelon de ligne réduite.

La plupart des calculatrices utiliseront des opérations élémentaires sur les lignes pour effectuer le calcul, mais notre calculatrice vous montrera exactement et en détail quelles matrices élémentaires sont utilisées à chaque étape.

Comment résolvez-vous une solution RREF

Cela dépend un peu du contexte, mais une façon est de commencer avec un système linéaire d'équations, de le représenter sous forme de matrice, auquel cas la solution RREF lors de l'augmentation des valeurs du côté droit.

Une autre option consiste à commencer par une matrice et à l'augmenter par la matrice d'identité, auquel cas la solution RREF conduira à l'inverse de la matrice d'origine.

Exemple de formulaire d'échelon de ligne réduit

Question: Supposons que vous ayez la matrice suivante :

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Trouvez sa forme échelonnée réduite, montrant toutes les étapes et les matrices élémentaires correspondantes.

Solution: La matrice fournie est une matrice \(3 \times 3\).

Nous devons trouver la forme échelonnée réduite de cette matrice.

Étape 1 : Opérations utilisées pour réduire la colonne \(1\) :
\((1) - R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) - R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 7&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Étape 2 : Opération utilisée pour réduire la colonne \(1\) :
\((1) \frac{1}{2} R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Pour la colonne \(2\), tous les éléments sous le pivot sont déjà nuls, nous n'avons donc pas besoin d'éliminer.

Étape 3 : Opérations utilisées pour réduire la colonne \(2\) au-dessus du pivot :
\((1) \frac{1}{4} R_{ 2}, \quad (2) -\frac{3}{2} R_{ 2} + R_{ 1} \rightarrow R_{ 1}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle \frac{3}{2}&\displaystyle \frac{1}{2}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Étape 4 : Pour la colonne \(3\) nous ne trouvons pas de pivot car la colonne est nulle donc nous passons à la colonne suivante.

Par conséquent, nous concluons que la matrice sous la forme RREF est :

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{8}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 1&\displaystyle \frac{1}{4}\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \]