calculateur de formulaire d'échelon de ligne

La forme d'échelon de rangée est un type de structure qu'une matrice peut avoir, qui ressemble à une forme triangulaire, mais elle est plus générale, et vous pouvez utiliser l'idée de la forme d'échelon de rangée pour les matrices non carrées.

Ce calculateur de forme d'échelon de ligne prendra une matrice que vous fournissez et appliquera l'élimination gaussienne, montrant toutes les étapes, indiquant les matrices élémentaires utilisées.

Qu'est-ce que la forme d'échelon de ligne ?

La forme d'échelon de ligne dans une matrice se produit si le premier terme non nul d'une ligne (parfois appelé terme de tête) est toujours à gauche du premier terme non nul qui se trouve en dessous. Cette idée nous aide à décrire les termes principaux respectifs des lignes sous la forme d'une séquence d'échelons dans un cas d'escalier inversé.

Que pouvez-vous utiliser sous forme d'échelon de ligne d'une forme matricielle ?

• Cela peut simplifier la calcul des déterminants
• Cela peut vous aider résoudre des systèmes d'équations linéaires
• Il peut faciliter certaines décompositions matricielles

Comment calculez-vous la forme d'échelon de rangée?

Ce calculateur de formulaire échelonné peut servir à plusieurs fins, et différentes approches sont possibles.

Mais l'idée principale est d'utiliser des pivots non nuls pour éliminer toutes les valeurs de la colonne qui sont en dessous du pivot non nul, un processus parfois appelé élimination gaussienne. Les étapes suivantes doivent être suivies :

Étape 1 : Vérifiez si la matrice est déjà sous forme d'échelon de ligne. Si c'est le cas, alors arrêtez, nous avons terminé.

Étape 2 : Regardez la première colonne. Si la valeur de la première ligne n'est pas zéro, utilisez-la comme pivot. Si ce n'est pas le cas, vérifiez la colonne pour un élément non nul et permutez les lignes si nécessaire pour que le pivot soit dans la première ligne de la colonne. Si la première colonne est zéro, passez à la colonne suivante vers la droite, jusqu'à ce que vous trouviez une colonne non nulle.

Étape 3 : Utilisez le pivot pour éliminer toutes les valeurs non nulles sous le pivot.

Étape 4 : Après cela, si la matrice n'est toujours pas sous forme d'échelon de ligne, déplacez-vous d'une colonne vers la droite et d'une ligne en dessous pour rechercher le pivot suivant.

Étape 5 : Répétez le processus, comme ci-dessus. Cherchez un pivot. Si aucun élément n'est différent de zéro à la nouvelle position de pivot ou en dessous, recherchez à droite une colonne avec un élément non nul à la position de pivot ou en dessous, et permutez les lignes si nécessaire. Ensuite, éliminez les valeurs sous le pivot.

Étape 6 : Continuez le processus de pivotement jusqu'à ce que la matrice soit sous forme d'échelon de ligne.

Comment calcule-t-on l'échelon de ligne sur une calculatrice ?

Toutes les calculatrices ne procéderont pas à l'élimination de Gauss-Jordan, mais certaines le font. En règle générale, tout ce que vous avez à faire est de saisir la matrice correspondante pour laquelle vous souhaitez mettre en Formulaire RREF .

Cette calculatrice vous permettra de définir une matrice (avec n'importe quel type d'expression, comme des fractions et des racines, pas seulement des nombres), puis toutes les étapes seront montrées du processus pour arriver à la forme finale d'échelon de ligne réduite.

Cette calculatrice fonctionne comme un calculateur d'opérations élémentaires sur les lignes , et il vous montrera exactement quelles matrices élémentaires sont utilisées à chaque étape.

Exemple : Calcul de la forme d'échelon de ligne d'une matrice

Question: Considérez la matrice suivante :

\[A = \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

Calculez sa forme rangée-échelon, montrant les étapes.

Solution: La matrice fournie est une matrice \(3 \times 3\).

Nous devons trouver une forme d'échelon de ligne de cette matrice.

Étape 1 : Opérations utilisées pour réduire la colonne \(1\) :
\((1) -\frac{3}{2} R_{ 1} + R_{ 2} \rightarrow R_{ 2}, \quad (2) -\frac{1}{2} R_{ 1} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 4&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \)

Étape 2 : Opération utilisée pour réduire la colonne \(2\) :
\((1) -\frac{1}{5} R_{ 2} + R_{ 3} \rightarrow R_{ 3}\)

\( \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{1}{2}&\displaystyle 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{2}{5} \end{bmatrix} \)

et nous sommes arrivés à la forme échelonnée de la matrice donnée.

Par conséquent, nous concluons que la matrice sous forme d'échelon de ligne est :

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle \frac{5}{2}&\displaystyle -2\\[0.6em]\displaystyle 0&\displaystyle 0&\displaystyle \frac{2}{5} \end{bmatrix} \]