La distribución normal estándar

La distribución normal estándar es una de las distribuciones más importantes porque le permite calcular las probabilidades asociadas a CUALQUIER distribución normal.

Eso es correcto: si sabe cómo calcular las probabilidades de distribución normal estándar, entonces puede calcular las probabilidades de cualquier distribución normal. ¿¿Porqué es eso?? Debido a la normalización de puntajes, le permite tener eventos que son equivalentes.

¿Qué es una distribución normal estándar?

Bueno, esa es la primera pregunta obvia que debemos responder: cuál es la distribución normal estándar. La respuesta es simple, la distribución normal estándar es la distribución normal cuando la media poblacional \(\mu\) es 0 y la desviación estándar poblacional es \(\sigma\) es 1.

Las probabilidades de distribución normal estándar juegan un papel crucial en el cálculo de todas las probabilidades de distribución normal.

De hecho, considere una variable de distribución normal \(X\), con población \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\). Si desea calcular la probabilidad del evento \( a \le X\le b\), hacemos la observación crucial de que los eventos

\[ a \le X\le b \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le \frac{X- \mu}{\sigma} \le \frac{b - \mu}{\sigma}\] \[ \Leftrightarrow \,\,\, \displaystyle \frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma}\]

son equivalentes. En otras palabras, la informática

\[ \Pr( a \le X\le b ) \]

es lo mismo que computar

\[ \displaystyle \Pr\left(\frac{a- \mu}{\sigma} \le Z \le \frac{b - \mu}{\sigma} \right)\]

Los valores \(\displaystyle \frac{a - \mu}{\sigma}\) y \(\displaystyle \frac{b - \mu}{\sigma}\) son las puntuaciones z correspondientes de las puntuaciones brutas \(a\) y \(b\), y esos son la clave para pasar de una distribución normal dada a una distribución normal estándar.

¿Cómo calculamos la puntuación Z?

Como se vio en el ejemplo anterior, para una variable de distribución normal \(X\), con población \(\mu\) y desviación estándar \(\sigma\), la puntuación z de una puntuación bruta determinada \(x\) se calcula como:

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

Ejemplos

Suponga que desea saber cuál es su posición en términos de peso para toda la población. ¿Cómo hallarías la puntuación Z de peso? Bueno, debe tener su peso, digamos \(x = 170\) libras, y suponga que la media de la población para su población es \(\mu = 175\) libras, con una desviación estándar de población de \(\sigma = 11\) libras.

Entonces, la puntuación z asociada a su peso sería

\[\displaystyle z = \frac{x - \mu}{\sigma} = \frac{170 - 175}{11} = 0.455 \]

Otras calculadoras normales

Usando otras calculadoras puede calcular general probabilidades normales o probabilidades normales para distribuciones muestrales , que en última instancia dependen del cálculo de las puntuaciones z y del uso de la distribución normal estándar.