Más sobre distribución muestral de la proporción muestral

La proporción de la muestra se define como \(\displaystyle \hat p = \frac{X}{n} \), donde \(X\) es el número de casos favorables y \(n\) es el tamaño de la muestra. Esta situación se puede concebir como \(n\) sucesivos ensayos de Bernoulli \(X_i\), de modo que \(\Pr(X_i = 1) = p\) y \(\Pr(X_i = 0) = 1-p\). En este contexto, el número de casos favorables es \(\displaystyle sum_{i=1}^n X_i\), y la proporción muestral \(\hat p\) se obtiene promediando \(X_1, X_2, ...., X_n\). Esto indica que cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande podemos usar la aproximación normal en virtud del Teorema del límite central.

La media y el error estándar de la proporción muestral son:

\[\mu (\hat p) = p\] \[\sigma (\hat p) = \displaystyle \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\]

Por lo tanto, cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande, y \(np \geq 10\) y \(n(1-p) \geq 10\), entonces podemos aproximar la probabilidad \(\Pr( p_1 \le \hat p \le p_2)\) por

\[ \Pr( p_1 \le \hat p \le p_2) = \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{\hat p-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}) \] \[\approx \Pr( \frac{p_1-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} \le Z \le \frac{p_2-p}{\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}} ) \]

Es habitual aplicar un factor de corrección de continuidad \(cf = \frac{0.5}{n}\) para compensar el hecho de que la distribución subyacente es discreta, especialmente cuando el tamaño de la muestra no es suficientemente grande. Si busca la distribución muestral de la media muestral, utilice esta calculadora en lugar