Más información sobre esta calculadora de matrices de cofactores.

Los cofactores están estrechamente asociados a la inversa de una matriz, y son escalones de la método adjunto utilizado para calcular la inversa de una matriz (cuando existe).

Probablemente, sin saberlo, ha tratado con cofactores al calcular un determinante de una matriz de 3x3 o más. Así que, como sospechas, los cofactores tienen que ver con los determinantes obtenidos al eliminar una fila y una columna.

¿Cómo se encuentra el cofactor de una matriz?

Lo primero es calcular la matriz de menores. Así, para una matriz n x n dada \(A\), el elemento de la i-ésima fila y j-ésima columna de la matriz de menores es igual al determinante de la submatriz formada al eliminar la i-ésima fila y j-ésima columna de la matriz dada \(A\).

Así, si llamamos \(A[i,j]\) a la submatriz obtenida al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de \(A\), formalmente definimos la matriz de menores, \(M\) como:

\[ M_{ij} = \det A[i,j]\]

Observe que si \(A\) es una matriz n x n, entonces \(M\) también es n x n.

Entonces, ¿qué es una matriz de cofactores?

Casi. Así que la menor es la matriz que contiene todos estos determinantes de las correspondientes submatrices obtenidas al suprimir una fila y una columna. El cofactor es casi eso, salvo que se le añade un signo (positivo o negativo), según la i y la j.

En efecto, la matriz de cofactores, \(C\) se define como:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[i,j]\]

Eso se parece bastante a lo que se usa cuando se calculan los determinantes, ¿no? Así que, para calcular la matriz cofactora, necesitas calcular un montón de determinantes .

Cómo utilizar esta calculadora de la matriz de cofactores con pasos

Para utilizar esta calculadora de cofactores, todo lo que tiene que hacer es proporcionar la matriz \(A\). La calculadora le guiará a través del proceso de cálculo de los menores y los signos para llegar a los cofactores.

Ejemplo de cálculo de la matriz de cofactores

Pregunta: Suponga que tiene la siguiente matriz

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Solución: Necesitamos calcular la matriz de cofactores de la matriz \(3 \times 3\) que se ha proporcionado.

Primero calculamos la matriz de menores. Tenemos que, por definición, la matriz de menores \(M\) está definida por la fórmula

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

donde en este caso \( A^{i,j}\) es la matriz \(A\) tras eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\).

Por tanto, y en base a la matriz \(A\) proporcionada obtenemos los siguientes coeficientes de la matriz de menores:

Para \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 5\]

Para \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Para \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Para \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Para \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Para \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Para \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Para \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Para \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Resumiendo, la matriz de menores es:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Ahora, podemos calcular los elementos de la matriz cofactora \(C\) utilizando la fórmula

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

La fórmula anterior se puede utilizar directamente porque los menores ya se conocen. Obtenemos

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 5 = (-1)^{ 2} \cdot 5 = 5\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = -1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 6} \left(-1\right) = 1\]

Resumiendo, la matriz de cofactores es:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle -3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

con lo que se concluye el cálculo.