Cómo usar esta calculadora de funciones lineales inversas

La idea de encontrar el inverso de una función es un concepto muy importante en Álgebra. Existe una definición formal para la función inversa, que toma diferentes formas.

Una forma común de definir la función inversa a una función dada \(y = f(x) \) es que \(f^{-1}(x)\) es la inversa si \(f(f^{-1}(x)) = f^{-1}(f(x)) = x\), para todo \(x\) en un conjunto apropiado.

Ahora bien, calcular la inversa de una función en general no es un ejercicio algebraico necesariamente simple, ya que normalmente implica Resolviendo para x a partir de la función original \(y = f(x) \), que podría ser algebraicamente difícil o imposible.

Pero, cuando se trata de un función lineal de la forma \(y = ax + b\), entonces se vuelve un poco más sencillo solución para x y finalmente encuentra el inverso.

¿Cómo se encuentra la inversa de una función lineal?

Primero, comienza con una función lineal válida de la forma \(y = ax + b\). Su primera tarea es solución para x :

\[ax = y-b\] \[\Rightarrow x = \frac{y-b}{a}\]

Ahora, la aguda observación que harás es, "¿qué pasa si \(a = 0\)?", y tendrás razón en eso. Hay un problema cuando \(a = 0\), en cuyo caso no se puede resolver para \(x\) y no hay inversa.

De hecho, cuando \(a = 0\) resulta que la función inicial era en realidad \(f(x) = b\), que es una constante, que no es inyectiva, por lo que no hay forma de vincular imágenes y preimágenes de forma única.

Pero todos estamos en el negocio si \(a \ne 0\). Ahora, reemplaza \(x\) por \(f^{-1}(x)\) y \(y\) por \(x\), y lo que tiene es la función inversa real:

\[\Rightarrow f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a}\]

Cómo usar esta calculadora

La forma de encontrar el inverso de una función lineal con pasos es simplemente colocar una función lineal válida de la forma \(y = ax + b\).

Si proporciona una función lineal válida, la calculadora le mostrará todos los pasos necesarios para llegar a la inversa, y también obtendrá un gráfica de la función original y su inversa, si la inversa existe.

Tenga en cuenta que esta calculadora solo funciona para funciones lineales. Calcular el inverso de funciones que no son lineales puede ser más difícil y no siempre es posible.

Ejemplo

Encuentra la función inversa de la siguiente función lineal \(y = 3x - 2\).

Respuesta:

Para encontrar la función inversa de la función lineal proporcionada, se requieren los siguientes pasos.

Paso 1 - Resolviendo para x : El primer paso para encontrar la inversa de la ecuación lineal provista es resolver \(x\):

Nos han proporcionado la siguiente ecuación:

\[\displaystyle y=3x-2\]

Poniendo \(x\) en el lado izquierdo y \(y\) y la constante en el lado derecho obtenemos

\[\displaystyle 3x = y + 2\]

Ahora, despejando \(x\), se obtiene lo siguiente

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

y simplificando todos los términos que necesitan simplificación, finalmente obtenemos lo siguiente

\[\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\]

Por lo tanto, según la ecuación provista, concluimos que el resultado de resolver \(x\) de la ecuación dada es \(\displaystyle x=\frac{1}{3}y+\frac{2}{3}\).

Paso 2: cambiar los roles de las variables : Ahora, para encontrar la función inversa, simplemente cambiamos el valor de \(y\) por \(x\) y el valor de \(x\) por \(f^{-1}(x)\) en la ecuación anterior, lo que lleva a:

\[\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\]

Conclusión : Con base en la ecuación provista, se encuentra que el inverso de la función lineal original \(y=3x-2\) que se pasó es \(\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\).