Calculadora de desigualdad de Markov

La Desigualdad de Markov establece que para un valor \(a > 0\), tenemos para cualquier variable aleatoria \(X\) que no tome valores negativos, siempre se observa el siguiente límite superior:

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

La desigualdad de Markov es muy importante para estimar probabilidades, considerando su generalidad en el sentido de que se aplica a cualquier variable aleatoria no negativa \(X\).

De hecho, la desigualdad de Markov es crucial para probar una desigualdad ampliamente utilizada, que es La desigualdad de Chebyshev , y es la base de una desigualdad aún más aguda, que es la desigualdad de Hoeffding.

La intuición de la desigualdad de Markov

¿Cuál es la intuición detrás de la desigualdad de Markov? Bueno, primero, está el factor claro de que la probabilidad en una cola derecha tiene un límite superior que disminuye más y más a medida que obtenemos una cola derecha más, lo cual es bastante obvio.

Observe la naturaleza de la desigualdad, que es que \(\frac{E(X)}{a}\) no es el valor exacto de la probabilidad de la cola, pero es solo un límite superior. ¿Qué tan cerca está este límite? Bueno, ahora sabemos que depende de la distribución real, pero, sin embargo, hay desigualdades más pronunciadas como la Desigualdad de Hoeffding.

Sin embargo, hay una regla muy clara en matemáticas: cuanto más generales (menos específicos) son los supuestos, más débil es el teorema. Entonces, es bastante asombroso que la desigualdad de Markov exista considerando la naturaleza muy general de sus supuestos.

Por ejemplo, el regla empírica es una desigualdad mucho más estricta, pero hace una suposición mucho más fuerte: que la distribución subyacente es normal. La desigualdad de Markov funciona para cualquier distribución (de variable no negativa)