Markovs Ungleichungsrechner

Die Markovsche Ungleichung besagt, dass für einen Wert \(a > 0\) für jede Zufallsvariable \(X\), die keine negativen Werte annimmt, immer die folgende Obergrenze eingehalten wird:

\[\Pr(X \ge a) \le \displaystyle \frac{E(X)}{a} \]

Markovs Ungleichung ist sehr wichtig für die Schätzung von Wahrscheinlichkeiten, da sie allgemein in dem Sinne gilt, dass sie für jede nicht negative Zufallsvariable \(X\) gilt.

In der Tat ist Markovs Ungleichung entscheidend, um eine weit verbreitete Ungleichung zu beweisen Chebyshev Ungleichung und es ist die Grundlage für eine noch schärfere Ungleichung, die Hoeffdings Ungleichung ist.

Markovs Ungleichheitsintuition

Was ist die Intuition hinter Markovs Ungleichheit? Nun, erstens gibt es den klaren Faktor, dass die Wahrscheinlichkeit für einen rechten Schwanz eine Obergrenze hat, die immer mehr abnimmt, wenn wir einen weiter rechten Schwanz bekommen, was eigentlich ziemlich offensichtlich ist.

Beachten Sie die Art der Ungleichung, dh \(\frac{E(X)}{a}\) ist nicht der genaue Wert der Wahrscheinlichkeit des Schwanzes, sondern nur eine Obergrenze. Wie nah ist das gebunden? Nun wissen wir, dass es von der tatsächlichen Verteilung abhängt, aber es gibt schärfere Ungleichungen wie Hoeffdings Ungleichung.

Dennoch gibt es in der Mathematik eine sehr klare Regel: Je allgemeiner (weniger spezifisch) die Annahmen sind, desto schwächer ist der Satz. Es ist also ziemlich beeindruckend, dass Markovs Ungleichung angesichts der sehr allgemeinen Natur seiner Annahmen besteht.

Zum Beispiel die empirische Regel ist eine viel engere Ungleichung, aber es wird viel stärker davon ausgegangen, dass die zugrunde liegende Verteilung normal ist. Markovs Ungleichung funktioniert für jede Verteilung (der nicht negativen Variablen)