Mehr zu diesem Cofaktormatrixrechner.

Cofaktoren sind eng mit der Umkehrung einer Matrix assoziiert und treten den Stein der Adjoint -Methode gewöhnt an Berechnen sie Die Umkehrung Einer Matrix (wenn es existiert).

Wahrscheinlich ohne wissen, dass Sie sich mit Cofaktoren beim Berechnen a befasst haben Determinante Einer -Matrix von 3x3 oder größer.Wie Sie vermuten, haben Cofaktoren also mit den Determinanten zu tun, die beim Entfernen einer Zeile und einer Spalte erhalten wurden.

Wie finden Sie den Cofaktor einer Matrix?

Das erste ist, die Minors -Matrix zu berechnen.Für eine gegebene n x n matrix \(A\) ist das Element in der I-DH- und J-ten Spalte der Minderjährigen Matrix gleich der Determinante der Submatrix, die gebildet wird, indem die i-te Zeile entfernt und j entfernen wird und j gebildet wird-TH -Spalte der angegebenen Matrix \(A\).

Wenn wir also \(A[i,j]\) zu der Submatrix nennen, die durch Entfernen der i-ten Zeile und der J-ten Spalte von \(A\) förmlich die Matrix der Minderjährigen definiert, \(M\) als:

\[ M_{ij} = \det A[i,j]\]

Beachten Sie, dass \(A\) eine n x n -Matrix ist, dann ist \(M\) auch n x n.

Also, was ist eine Cofaktormatrix?

Fast dort.Die Minderjährigen sind also die Matrix, die all diese Determinanten der entsprechenden Untermatrizen enthält, die durch Löschen einer Zeile und einer Spalte erhalten werden.Der Cofaktor ist fast das, außer dass Sie je nach i und j ein Zeichen (positiv oder negativ) hinzufügen.

In der Tat ist die Cofaktormatrix \(C\) definiert als:

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} = (-1)^{i+j} \det A[i,j]\]

Das sieht ziemlich ähnlich aus, was Sie verwenden, wenn Sie Determinanten berechnen, oder?Um die Cofaktormatrix zu berechnen, müssen Sie also Berechnen Siee Reihe von Determinanten .

So verwenden Sie diesen Cofaktormatrixrechner mit Schritten

Um diesen Cofaktorrechner zu verwenden, müssen Sie lediglich die Matrix \(A\) bereitstellen.Der Taschenrechner führt Sie durch den Prozess der Berechnung der Minderjährigen und der Zeichen, um zu den Cofaktoren zu gelangen.

Beispiel für eine Cofaktormatrixberechnung

Frage: Angenommen, Sie haben die folgende Matrix

\[ \begin{bmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{bmatrix} \]

Lösung: Wir müssen die Cofaktormatrix der bereitgestellten \(3 \times 3\) Matrix berechnen.

Zuerst berechnen wir die Minors -Matrix.Wir haben per Definition die minors matrix \(M\) durch die Formel definiert

\[ M_{ij} = \det A^{i,j}\]

Wo in diesem Fall \( A^{i,j}\) ist die Matrix \(A\) Nach dem Löschen von Zeile \(i\) und Spalte \(j\).

Daher und basierend auf der Matrix \(A\) vorausgesetzt, wir erhalten die folgenden Koeffizienten der Minors -Matrix:

Für \(A^{ 1, 1}\):

\[M_{ 1 1} = \det A^{ 1 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 3&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 5\]

Für \(A^{ 1, 2}\):

\[M_{ 1 2} = \det A^{ 1 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Für \(A^{ 1, 3}\):

\[M_{ 1 3} = \det A^{ 1 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 3\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(3 \right) = -1\]

Für \(A^{ 2, 1}\):

\[M_{ 2 1} = \det A^{ 2 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 3\]

Für \(A^{ 2, 2}\):

\[M_{ 2 2} = \det A^{ 2 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 2 \right) - 1 \cdot \left(1 \right) = 1\]

Für \(A^{ 2, 3}\):

\[M_{ 2 3} = \det A^{ 2 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 1 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Für \(A^{ 3, 1}\):

\[M_{ 3 1} = \det A^{ 3 1} = \begin{vmatrix} \displaystyle 2&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot \left( 1 \right) - 3 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Für \(A^{ 3, 2}\):

\[M_{ 3 2} = \det A^{ 3 2} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 1 \right) - 2 \cdot \left(1 \right) = -1\]

Für \(A^{ 3, 3}\):

\[M_{ 3 3} = \det A^{ 3 3} = \begin{vmatrix} \displaystyle 1&\displaystyle 2\\[0.6em]\displaystyle 2&\displaystyle 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot \left( 3 \right) - 2 \cdot \left(2 \right) = -1\]

Zusammenfassend ist die Minors -Matrix:

\[M = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle 3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle 3&\displaystyle 1&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -1&\displaystyle -1&\displaystyle -1 \end{bmatrix} \]

Jetzt können wir die Elemente der Cofaktormatrix \(C\) mit der Formel berechnen

\[ C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}\]

Die obige Formel kann direkt verwendet werden, da die Minderjährigen bereits bekannt sind.Wir bekommen

\[ C_{ 1 1} = (-1)^{ 1+1} \cdot 5 = (-1)^{ 2} \cdot 5 = 5\] \[C_{ 1 2} = (-1)^{ 1+2} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 1 3} = (-1)^{ 1+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = -1\] \[C_{ 2 1} = (-1)^{ 2+1} \cdot 3 = (-1)^{ 3} \cdot 3 = -3\] \[C_{ 2 2} = (-1)^{ 2+2} \cdot 1 = (-1)^{ 4} \cdot 1 = -1\] \[C_{ 2 3} = (-1)^{ 2+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 1} = (-1)^{ 3+1} \left(-1\right)= (-1)^{ 4} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 2} = (-1)^{ 3+2} \left(-1\right)= (-1)^{ 5} \left(-1\right) = 1\] \[C_{ 3 3} = (-1)^{ 3+3} \left(-1\right)= (-1)^{ 6} \left(-1\right) = 1\]

Zusammenfassend ist die Cofaktormatrix:

\[C = \begin{bmatrix} \displaystyle 5&\displaystyle -3&\displaystyle -1\\[0.6em]\displaystyle -3&\displaystyle -1&\displaystyle 1\\[0.6em]\displaystyle 1&\displaystyle 1&\displaystyle 1 \end{bmatrix} \]

was die Berechnung abschließt.